2020高考数学二轮复习第1部分重点强化专题限时集训13圆锥曲线中的综合问题文

2019年

【2019最新】精选高考数学二轮复习第1部分重点强化专题限时集训

13圆锥曲线中的综合问题文

[建议用时：45分钟]

1．(2016·哈尔滨一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右顶点A(2,0)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M的直线l交椭圆于B，D两点，设直线AB的斜率为k1，直线AD的斜率为k2，求证：k1k2为定值，并求此定值. [解] (1)由题意得解得所以C的方程为＋y2＝1．

4分

(2)证明：由题意知直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为x＝my＋，与＋y2＝1联立得(m2＋4)y2＋3my－＝0， 6分 由Δ＞0，设B(x1，y1)，D(x2，y2)， 则y1＋y2＝，y1y2＝，

8分

k1k2＝＝＝＝＝－，

y1y2

1

m2y1y2－m

2

1

y1＋y2＋

4

∴k1k2为定值，定值为－． 12分

2．(2017·海口模拟)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点，离心率为，点O为坐标原点．

图13-2

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过椭圆E的左焦点F任作一条不垂直于坐标轴的直线l，交椭圆E于P，Q两点，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM于点N，证明：点N在

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一条定直线上．

?a＝5，

[解] (1)由题易得解得?

?b＝1，

所以c＝2，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.5分 (2)证明：设直线l的方程为

y＝k(x＋2)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

联立y＝k(x＋2)与＋y2＝1，

可得(1＋5k2)x2＋20k2x＋20k2－5＝0，6分 所以x1＋x2＝－，x1x2＝．

8分

设直线FN的方程为y＝－(x＋2)，M(x0，y0)，9分 则x0＝＝－，y0＝k(x0＋2)＝，

所以kOM＝＝－，

所以直线OM的方程为y＝－x，

5x＝－，??2

联立解得?1

y＝??2k，

10分

所以点N在定直线x＝－上． 12分

3．(2017·石家庄二模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上一点，直线TA，TB的斜率之积为－. (1)求椭圆C的方程；

(2)设O为原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围．

[解] (1)设T(x，y)，则直线TA的斜率为k1＝，直线TB的斜率为k2＝． 2分

于是由k1k2＝－，得·＝－， 整理得＋＝1．

4分

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(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线PQ与椭圆方程联立得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝－．

6分

从而，·＋·＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＝－20＋． －20＜·＋·≤－． 当直线PQ斜率不存在时，

易得P，Q两点的坐标为(0,2)，(0，－2)， 所以·＋·的值为－20.

综上所述，·＋·的取值范围为． 12分

4．(2017·广东六校联盟联考)已知点P是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，延长QP到点M，使＝. (1)求点M的轨迹E的方程；

(2)过点C(m,0)作圆O的切线l，交(1)中的曲线E于A，B两点，求△AOB面积的最大值．

[解] (1)设点M(x，y)，∵＝，∴P为QM的中点， 又有PQ⊥y轴，∴P，

∵点P是圆：x2＋y2＝1上的点， ∴2＋y2＝1，

即点M的轨迹E的方程为＋y2＝1．

4分

1分 2分

8分 10分

(2)由题意可知直线l与y轴不垂直，故可设l：x＝ty＋m，t∈R，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∵l与圆O：x2＋y2＝1相切， ∴＝1，即m2＝t2＋1，① 由消去x，

并整理得(t2＋4)y2＋2mty＋m2－4＝0，

6分

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其中Δ＝4m2t2－4(t2＋4)(m2－4)＝48＞0， 则y1＋y2＝，y1y2＝.② ∴|AB|＝＝，

将①②代入上式得|AB|＝＝，|m|≥1，

10分

x1－x22＋y1－y22

8分

∴S△AOB＝|AB|·1＝·＝≤＝1，当且仅当|m|＝，即m＝±时，等号成立，∴(S△AOB)max＝1．

12分

5．(2016·开封二模)已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.

图13-3

(1)求椭圆的方程；

(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围． [解] (1)由题意可设椭圆方程为

x2

＋＝1(a＞b＞0)， a2

则＝(其中c2＝a2－b2，c＞0)，且＋＝1，故a＝2，b＝1. 所以椭圆的方程为＋y2＝1．

6分

(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0.故可设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，5分

则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0， 且x1＋x2＝－，x1x2＝．

6分

故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，7分 因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列， 所以·＝＝k2， 即－＋m2＝0．

又m≠0，所以k2＝，即k＝±.

8分 9分