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许老师奥数
第三部分 行程问题
第一讲 行程基础 【专题知识点概述】
行程问题是一类常见的重要应用题,在历次数学竞赛中经常出现。行程问题包括:相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等。行程问题思维灵活性大,辐射面广,但根本在于距离、速度和时间三个基本量之间的关系,即:距离?速度?时间,时间?距离?速度,速度?距离?时间。在这三个量中,已知两个量,即可求出第三个量。掌握这三个数量关系式,是解决行程问题的关键。在解答行程问题时,经常采取画图分析的方法,根据题意画出线段图,来帮助我们分析、理解题意,从而解决问题。
一、行程基本量
我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题,总称为行程问题.我们已经接触过一些简单的行程应用题,行程问题主要涉及时间(t)、速度(v)和路程(s)这三个基本量,它们之间的关系如下:
(1)速度×时间=路程 可简记为:s = vt (2)路程÷速度=时间 可简记为:t = s÷v (3)路程÷时间=速度 可简记为:v = s÷t 显然,知道其中的两个量就可以求出第三个量.
二、平均速度
平均速度的基本关系式为: 平均速度?总路程?总时间; 总时间?总路程?平均速度; 总路程?平均速度?总时间。
【重点难点解析】
1. 行程三要素之间的关系 2.平均速度的概念
3.注意观察运动过程中的不变量
【竞赛考点挖掘】
1.注意观察运动过程中的不变量
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【习题精讲】
【例1】(难度等级 ※)
邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里,从邮局开始要走12千米上坡路,8千米下坡路。他上坡时每小时走4千米,下坡时每小时走5千米,到达目的地停留1小时以后,又从原路返回,邮递员什么时候可以回到邮局? 【分析与解】
法一:先求出去的时间,再求出返回的时间,最后转化为时刻。①邮递员到达对面山里需时间:12÷4+8÷5=4.6(小时);②邮递员返回到邮局共用时间:8÷4+12÷5+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时)③邮递员回到邮局时的时刻是:7+10-12=5(时).邮递员是下午5时回到邮局的。
法二:从整体上考虑,邮递员走了(12+8)千米的上坡路,走了(12+8)千米的下坡路,所以共用时间为:(12+8)÷4+(12+8)÷5+1=10(小时),邮递员是下午7+10-12=5(时) 回到邮局的。.
【例2】(难度等级 ※)
甲、乙两地相距100千米。下午3点,一辆马车从甲地出发前往乙地,每小时走10千米;晚上9点,一辆汽车从甲地出发驶向乙地,为了使汽车不比马车晚到达乙地,汽车每小时最少要行驶多少千米?. 【分析与解】
马车从甲地到乙地需要100÷10=10小时,在汽车出发时,马车已经走了9-3=6(小时)。依题意,汽车必须在10-6=4小时内到达乙地,其每小时最少要行驶100÷4=25(千米).
【例3】(难度等级 ※※)
小明每天早晨6:50从家出发,7:20到校,老师要求他明天提早6分钟到校。如果小明明天早晨还是6:50从家出发,那么,每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。问:小明家到学校多远?(第六届《小数报》数学竞赛初赛题第1题) 【分析与解】
原来花时间是30分钟,后来提前6分钟,就是路上要花时间为24分钟。这时每分钟必须多走25米,所以总共多走了24×25=600米,而这和30分钟时间里,后6分钟走的路程是一样的,所以原来每分钟走600÷6=100米。总路程就是=100×30=3000米。
【例4】(难度等级 ※)
韩雪的家距离学校480米,原计划7点40从家出发8点可到校,现在还是按原时间离开家,不过每分钟比原来多走16米,那么韩雪几点就可到校? 【分析与解】
原来韩雪到校所用的时间为20分钟,速度为:480÷20=24(米/分),现在每分钟比原来多走16米,即现在的速度为24+16=40(米/分),那么现在上学所用的时间为:480÷40=12(分钟),7点40分从家出发,12分钟后,即7点52分可到学校.
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【例5】(难度等级 ※※)
王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时50千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开? 【分析与解】
假设甲地到乙地的路程为300,那么按时的往返一次需时间300÷60×2=10(小时),现在从甲到乙花费了时间300÷50=6(小时),所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是10-6=4(小时).即如果他想按时返回甲地,他应以300÷4=75(千米/时)的速度往回开.
【例6】(难度等级 ※※)
刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访,以10千米/时的速度行进,下午1点到;以15千米/时的速度行进,上午11点到.如果希望中午12点到,那么应以怎样的速度行进? 【分析与解】
这道题没有出发时间,没有学校到韩丁家的距离,也就是说既没有时间又没有路程,似乎无法求速度.这就需要通过已知条件,求出时间和路程.
假设有A,B两人同时从学校出发到韩丁家,A每小时行10千米,下午1点到;B每小时行15千米,上午11点到.B到韩丁家时,A距韩丁家还有10×2=20(千米),这20千米是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行15-10=5(千米),所以B从学校到韩丁家所用的时间是
20÷(15-10)=4(时).由此知,A,B是上午7点出发的,学校离韩丁家的距离是15×4=60(千米).刘老师要想中午12点到,即想(12-7=)5时行60千米,刘老师骑车的速度应为 60÷(12-7)=12(千米/时).
【例7】(难度等级 ※※※)
小红上山时每走30分钟休息10分钟,下山时每走30分钟休息5分钟.已知小红下山的速度是上山速度的2倍,如果上山用了3时50分,那么下山用了多少时间? 【分析与解】
上山用了3时50分,即60×3+50=230(分),由230÷(30+10)=5……30,得到上山休息了5次,走了230-10×5=180(分).因为下山的速度是上山的2倍,所以下山走了180÷2=90(分).由90÷30=3知,下山途中休息了2次,所以下山共用90+5×2=100(分)=1时40分.
【例8】(难度等级 ※※※)
老王开汽车从A到B为平地(见右图),车速是30千米/时;从B到C为上山路,车速是22.5千米/时;从C到D为下山路,车速是36千米/时. 已知下山路是上山路的2倍,从A到D全程为72千米,老王开车从A到D共需要多少时间? 【分析与解】
设上山路为x千米,下山路为2x千米,则上下山的平均速度是:(x+2x)÷(x÷22.5+2x÷36)=30(千米/时),正好是平地的速度,所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时,与平地路程的长短无关.因此共需要72÷30=2.4(时).
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【例9】(难度等级 ※※※)
汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地,到达后立即以48千米/时的速度返回甲地。求该车的平均速度。 【分析与解】
想求汽车的平均速度=汽车行驶的全程÷总时间 ,在这道题目中如果我们知道汽车行驶的全程,进而就能求出总时间,那么问题就迎刃而解了。在此我们不妨采用“特殊值”法,这是奥数里面非常重要的一种思想,在很多题目中都有应用。①把甲、乙两地的距离视为1千米,总时间为:1÷72+1÷48,平均速度=2÷(1÷72+1÷48)=57.6千米/时。 ②我们发现①中的取值在计算过程中不太方便,我们可不可以找到一个比较好计算的数呢?在此我们可以把甲、乙两地的距离视为[72,48]=144千米,这样计算时间时就好计算一些,平均速度=144×2÷(144÷72+144÷48)=57.6千米/时。
【例10】(难度等级 ※※)
AD如图,从A到B是12千米下坡路,从B到C是8千米平路,从C到D是4千米上坡路.小张步行,下坡的速度都
B是6千米/小时,平路速度都是4千米/小时,上坡速度都是2千米/小时.问小张从A到D的平均速度是多少? 【分析与解】
从A到B的时间为:12÷6=2(小时),从B到C的时间为:8÷4=2(小时),从C到D的时间为:4÷2=2(小时),从A到D的总时间为:2+2+2=6(小时),总路程为:12+8+4=24(千米),那么从A到D 的平均速度为:24÷6=4(千米/时).
C【例11】(难度等级 ※※)
有一座桥,过桥需要先上坡,再走一段平路,最后下坡,并且上坡、平路及下坡的路程相等。某人骑自行车过桥时,上坡、走平路和下坡的速度分别为4米/秒、6米/秒和8米/秒,求他过桥的平均速度。 【分析与解】
假设上坡、走平路及下坡的路程均为24米,那么总时间为:24÷4+24÷6+24÷8=13(秒),过桥的平均速度为 . 7(米/秒)
24?3?13?5 13【例12】(难度等级 ※※※)
汽车往返于A,B两地,去时速度为40千米/时,要想来回的平均速度为48千米/时,回来时的速度应为多少? 【分析与解】
假设AB两地之间的距离为480÷2=240千米,那么总时间=480÷48=10(小时),回来时的速度=240÷(10-240÷40)=60(千米/时).
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