2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第九讲 指数与指数函数

第九讲 指数与指数函数

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．(2010·番禺质检)下列结论中正确的个数是( )

①当a<0时，(a)2＝a；②a＝|a|；③函数y＝(x－2)2－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.

A．0 B．1 C．2

D．3

23

3

23

23

3

nn1

解析：根据指数幂的运算性质对每个结论逐一进行判断．①中，当a<0时，(a)2>0，a<0，所以(a)2≠a3；77n

2，?∪?，＋∞?；④中，由已知可得2a＋b②中，当n为奇数时，an＝a；③中，函数的定义域应为??3??3?＝lg5＋lg2＝lg10＝1，所以只有④正确，选B.

答案：B

32．(

66a9)4·(3a9)4(a≥0)的化简结果是( )

A．a16 B．a8 C．a4 D．a2 解析：原式＝(答案：C

3．若函数y＝(a2－5a＋5)·ax是指数函数，则有( ) A．a＝1或a＝4 B．a＝1 C．a＝4 D．a>0，且a≠1

解析：因为“一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数”，所以函数y＝(a2－5a＋5)·ax是指数

2

??a－5a＋5＝1，

函数的充要条件为?解得a＝4，故选C.

?a>0，且a≠1，?

1818a9)4·(a9)4＝a4，选C.

答案：C

评析：解答指数函数概念问题时要抓住指数函数解析式的特征：(1)指数里面只有x，且次数为1，不能为x2，x等；(2)指数式ax的系数为1，但要注意有些函数表面上看不具有指数函数解析式的形式，但可以经过运算转化为指数函数的标准形式．

4．在平面直角坐标系中，函数f(x)＝2xA．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．直线y＝x对称

＋1

与g(x)＝21x图象关于( )

－

解析：y＝2x左移一个单位得y＝2x1，y＝2x右移一个单位得y＝21x，而y＝2x与y＝2x关于y轴对

＋

－

－

－

称．

∴f(x)与g(x)关于y轴对称． 答案：C

1－

5．若函数f(x)＝a|2x4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )

9A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 11

解析：由f(1)＝得a2＝，

9911

∴a＝(a＝－舍去)，

331?|2x－4|

即f(x)＝?. ?3?

由于y＝|2x－4|在(－∞，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2)上递增，在(2，＋∞)上递减．故选B.

答案：B

1?x6．已知函数f(x)＝??3?－log2x，实数a、b、c满足f(a)f(b)f(c)<0(0

A．x0b C．x0c

1?x解析：如图所示，方程f(x)＝0的解即为函数y＝??3?与y＝log2x的图象交点的横坐标x0.由实数x0是方程f(x)＝0的一个解，若x0>c>b>a>0，则f(a)>0，f(b)>0，f(c)>0，

与已知f(a)f(b)f(c)<0矛盾，所以，x0>c不可能成立，故选D.

答案：D

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．已知不论a为何正实数，y＝ax1－2的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________．

＋

解析：因为指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)．而函数y＝ax1－2的图象可由y＝ax(a>0，

＋

a≠1)的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位而得到，于是，定点(0,1)→(－1,1)→(－1，－1)．所以函数y＝ax1－2的图象恒过定点(－1，－1)．

＋

答案：(－1，－1)

1

8．函数y＝()x－3x在区间[－1,1]上的最大值为________．

38答案： 3

9．定义：区间[x1，x2](x1

解析：[a，b]的长度取得最大值时[a，b]＝[－1,1]，区间[a，b]的长度取得最小值时[a，b]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1.

答案：1

ex＋exex－ex

10．(2010·湖南师大附中期中)设f(x)＝，g(x)＝，计算f(1)g(3)＋g(1)f(3)－g(4)＝________，

22

－

－

f(3)g(2)＋g(3)f(2)－g(5)＝________，并由此概括出关于函数f(x)和g(x)的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是________．

答案：0 0 f(x)g(y)＋g(x)f(y)－g(x＋y)＝0

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．) 11．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)． (1)试确定f(x)；

1?x?1?x

(2)若不等式??a?＋?b?－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)

?a＝6 ①?b·?∴ ?a3＝24 ②?b·

②÷①得a2＝4，

又a>0，且a≠1，∴a＝2，b＝3， ∴f(x)＝3·2x.

1?x?1?x

?1?x＋?1?x在(－∞，1]上恒成立． (2)?＋－m≥0在(－∞，1]上恒成立化为m≤?a??b??2??3?1?x?1?x

令g(x)＝??2?＋?3?，g(x)在(－∞，1]上单调递减， 115∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，

2365－∞，?. 故所求实数m的取值范围是?6??

1?2

12．已知函数f(x)＝??3?ax－4x＋3. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值．

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的取值范围．

分析：函数f(x)是由指数函数和二次函数复合而成的，因此可通过复合函数单调性法则求单调区间，研究函数的最值问题．

1?－x2－4x＋3解：(1)当a＝－1时，f(x)＝?， ?3?令g(x)＝－x2－4x＋3，

由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 1?t而y＝??3?在R上单调递减，

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．

1?h(x)(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝??3?，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有 a>0??

?12a－16，解得a＝1. ??4a＝－1

即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.

1?h(x)2(3)由指数函数的性质知，要使y＝?的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax－4x＋3的值域为R，因此?3?只能有a＝0.因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.故a的取值范围是a＝0.

评析：求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．

1

13．已知函数f(x)＝2x－|x|. 2(1)若f(x)＝2，求x的值；

(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)当x<0时，f(x)＝0； 1

当x≥0时，f(x)＝2x－x. 2

1

由条件可知2x－x＝2，即22x－2·2x－1＝0，

2解得2x＝1±2.

∵2x>0，∴x＝log2(1＋2)．

11

22t－2t?＋m?2t－t?≥0， (2)当t∈[1,2]时，2t?2???2?即m(22t－1)≥－(24t－1)． ∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)．

∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]， 故m的取值范围是[－5，＋∞)．