四川省绵阳市高中2014届高三第二次诊断性考试数学（文）试题

绵阳市高2011级第二次诊断性考试

数学(文)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

DBCCD AABAC

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．?3

12．1

13．0.3

14．(3，?23)或(

123，)

3315．5 7三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ） f(x)=a?b=2sin2x+2sinxcosx =2?=2sin(2x-由-

1?cos2x+sin2x 2?)+1， ???????????? 3分 43?????+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

824283??+kπ，+kπ]( k∈Z)． ???????? 6分

88∴ f(x)的单调递增区间是[-

（II）由题意g(x)=2sin[2(x+由

???)-]+1=2sin(2x+)+1，???? 9分 64127?5????≤x≤得≤2x+≤，

12412412∴ 0≤g(x)≤2+1，即 g(x)的最大值为2+1，g(x)的最小值为0． ? 12分 1

17．解：（I）设等比数列{an}的公比为q，由题知a1= ，

2

又∵ S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列， ∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3，

变形得S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3，即得3a2=a1+2a3，

311

∴ q= +q2，解得q=1或q= ， ????????????????4分 2221又由{an}为递减数列，于是q= ，

2

1

∴ an=a1qn?1=( )n． ??????????????????????6分

21

（Ⅱ）由于bn=anlog2an=-n?( )n，

2

1121n?11n∴ Tn??[1?+2（?）+?+?n?1?（?）?n（?）]，

2222·5·

1121n1n?1于是Tn??[1（?）+?+?n?1?（?）?n（?）]，

222211?[1?()n]111112?n?(1)n?1，两式相减得：Tn??[+()2+?+()n?n?()n?1]=?2

12222221?2整理得Tn?n?2?2． ?????????????????????12分 2n18．解：（I）∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，

120?x=0.05，解得x=60． ??????????????????2分 3600∴ 持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720． ??? 4分

360

∴ 应在“无所谓”态度抽取720× =72人． ?????????? 6分

3600

∴

（Ⅱ）∵ y+z=720，y≥657，z≥55，故满足条件的(y，z)有：

(657，63)，(658，62)，(659，61)，(660，60)，(661，59)，(662，58)，(663，57)，(664，56)，(665，55)共9种． ??????????? 8分 记本次调查“失效”为事件A，

若调查失效，则2100+120+y<3600×0.8，解得y<660．

∴ 事件A包含：(657，63)，(658，62)，(659，61)共3种．

31

∴ P(A)= = ． ??????????????????????? 12分

9319．（I）证明：取AB中点M，连FM，GM．

∵ G为对角线AC的中点，

1

∴ GM∥AD，且GM= AD，

21

又∵ FE∥ AD，

2∴ GM∥FE且GM=FE．

∴四边形GMFE为平行四边形，即EG∥FM． 又∵ EG?平面ABF，FM?平面ABF，

∴ EG∥平面ABF．??????????????????????? 4分 （Ⅱ）解：作EN⊥AD，垂足为N，

由平面ABCD⊥平面AFED ，面ABCD∩面AFED=AD， 得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E-ABG的高． ∵ 在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60o， ∴ △AEF是正三角形． ∴ ∠AEF=60o，

由EF//AD知∠EAD=60o， ∴ EN=AE?sin60o=3．

·6·

F E N G C A M B D ∴ 三棱锥B-AEG的体积为

11123．????????8分 VB?AEG?VE?ABG?S?ABG?EN???2?2?3?3323（Ⅲ）解：平面BAE⊥平面DCE．证明如下：

∵ 四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED， ∴ CD⊥平面AFED， ∴ CD⊥AE．

∵ 四边形AFED为梯形，FE∥AD，且?AFE?60°， ∴ ?FAD=120°．

又在△AED中，EA=2，AD=4，?EAD?60°， 由余弦定理，得ED=23． ∴ EA2+ED2=AD2， ∴ ED⊥AE． 又∵ ED∩CD=D， ∴ AE⊥平面DCE， 又AE?面BAE，

∴ 平面BAE⊥平面DCE． ???????????????????12分 20．解：（I）设圆C：(x-a)2+y2=R2(a>0)，由题意知

?|3a?7|?R，13?223?4 解得a=1 或 a= ， ??????????????? 3分 ?8?2?a?3?R，又∵ S=πR2<13， ∴ a=1，

∴ 圆C的标准方程为：(x-1)2+y2=4． ?????????????? 6分 （Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意． 当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又∵ l与圆C相交于不同的两点，

?y?kx?3，联立?消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0， ???????9分 22?(x?1)?y?4，∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0， 解得k?1?x1+x2=?2626或k?1?． 336k?22k?6，y+ y=k(x+x)+6=， 1212

1?k21?k2?????????1????????1?3)， OD?(OA?OB)?(x1?x2，y1?y2)，MC?(1，22?????????假设OD∥MC，则?3(x1?x2)?y1?y2，

·7·

∴ 3?6k?22k?6， ?1?k21?k232626?(??，1?)?(1?，??)，假设不成立． 433∴ 不存在这样的直线l． ????????????????????13分

解得k?21．解：（I）由题知f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx的定义域为(0，+∞)，

4ax2?(a?4)x?1且f?(x)?．

x1

又∵ f(x)的图象在x= 处的切线与直线4x+y=0平行，

4

1∴ f?()??4，

4解得 a=-6．?????????????????????????? 4分

4ax2?(a?4)x?1(4x?1)(ax?1)（Ⅱ）f?(x)?， ?xx4x?1>0． x①当a≥0时，对任意x>0，f?(x)>0，

由x>0，知

∴ 此时函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)． ②当a<0时，令f?(x)=0，解得x??当0?x??1， a11时，f?(x)>0，当x??时，f?(x)<0， aa11)，单调递减区间为(?，+∞)． aa ????????????????????????9分

此时，函数f(x)的单调递增区间为(0，?（Ⅲ）不妨设A(x1，0)，B(x2，0)，且0?x1?x2，由（Ⅱ）知 a?0，

1x?x21于是要证f?(x)<0成立，只需证：x0??即1??．

a2a∵f(x1)?2ax12??a?4?x1?lnx1?0， ①

f(x2)?2ax22??a?4?x2?lnx2?0， ②

①-②得f(x1)?f(x2)?2ax12?(a?4)x1?lnx1?2ax22?(a?4)x2?lnx2?0， 即a(2x12?2x22?x1?x2)?4(x1?x2)?lnx1?lnx2?0，

2x12?x1?2x22?x21∴ ??，

a4x1?lnx1?4x2?lnx2x1?x22x12?x1?2x22?x2?故只需证， 24x1?lnx1?4x2?lnx2·8·

即证明(x1?x2)[4?x1?x2???lnx1?lnx2?]?4x12?2x1?4x22?2x2，

即证明lnx1?lnx2?x2x1?2x2，变形为ln1?x1?x2x22?x1?2x2，

x1?1x2设t?x12t?2， (0?t?1)，令g(t)?lnt?x2t?1(t?1)214则g?(t)??， ?22t(t?1)t(t?1)显然当t>0时，g?(t)≥0，当且仅当t=1时，g?(t)=0， ∴ g(t)在(0，+∞)上是增函数． 又∵ g(1)=0，

∴ 当t∈(0，1)时，g(t)<0总成立，命题得证．???????????14分

·9·