2019-2020学年宁夏银川一中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)(9月份)

此时?(??)＝????(??)＝???3+3??，则?′(??)＝?3??2+3． 由?′(??)＝0，解得??＝±1．……………

当??变化时，?′(??)与?(??)的变化情况如下表所示： ?? (?∞,??1) ?1 (?1,?1) 1 (1,?+∞) ′?(??) 0 0 - + - ?(??) ↘ ↗ ↘ 极小值 极大值

所以?(??)在(?∞,??1)，(1,?+∞)上单调递减，在(?1,?1)上单调递增．………… 所以?(??)有极小值?(?1)＝?2，?(??)有极大值?(1)＝2．…………… （2）由??(??)＝?????????2+3＝0，得??=

??2?3????．

??2?3????所以“??(??)在区间[?2,?4]上有两个零点”等价于“直线??＝??与曲线??(??)=[?2,?4]有且只有两个公共点”．…………… 对函数??(??)求导，得??′(??)=

???2+2??+3

????，??∈

．……………

由??′(??)＝0，解得??1＝?1，??2＝3．……………

当??变化时，??′(??)与??(??)的变化情况如下表所示： ?? (?2,??1) ?1 (?1,?3) 3 ??′(??) 0 0 - + ??(??) ↘ ↗ 极小值 极大值 所以??(??)在(?2,??1)，(3,?4)上单调递减，在(?1,?3)上单调递增．…………

6

13

(3,?4) - ↘ 又因为??(?2)＝??2，??(?1)＝?2??，??(3)=??3??(?1)， 所以当?2??

即当?2??

已知函数??(??)＝??ln?????，??∈??．

（1）求函数??(??)的单调区间；

（2）当??＝1，且??≥2时，证明：??(???1)≤2???5． 【答案】

已知函数??(??)＝??ln?????，??∈??．??∈(0,?+∞)， 由于??′(??)=

????+1??211

13

6

13

6

??2?3????，??∈[?2,?4]有且只有

．??∈(0,?+∞)，

当??≥0时，对于??∈(0,?+∞)，有??′(??)>0在定义域上恒成立， 即??(??)在(0,?+∞)上是增函数．

当??<0时，由??′(??)＝0，得??=???∈(0,+∞)． 当??∈(0,???)时，??′(??)>0，??(??)单调递增；

试卷第13页，总19页

1

1

当??∈(???,+∞)时，??′(??)<0，??(??)单调递减；

证明：当??＝1时，??(???1)=ln(???1)????1，??∈[2,?+∞)． 令??(??)=ln(???1)????1?2??+5． ??′(??)=???1+(???1)2?2=?

1

1

(2???1)(???2)(???1)2

1

1

1

．

当??>2时，??′(??)<0，??(??)在(2,?+∞)单调递减． 又??(2)＝0，所以??(??)在(2,?+∞)恒为负． 所以当??∈[2,?+∞)时，??(??)≤0． 即ln(???1)????1?2??+5≤0．

故当??＝1，且??≥2时，??(???1)≤2???5成立． 【考点】

利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 【解析】

（1）求函数??(??)的导数，分类讨论??的范围可得函数的单调区间；

（2）当??＝1，且??≥2时，??(???1)=ln(???1)????1，??∈[2,?+∞)．令??(??)=ln(???1)?【解答】

已知函数??(??)＝??ln?????，??∈??．??∈(0,?+∞)， 由于??′(??)=

????+1??2

1

1???1

1

1

?2??+5．求??(??)的最大值可证明??(???1)≤2???5．

．??∈(0,?+∞)，

当??≥0时，对于??∈(0,?+∞)，有??′(??)>0在定义域上恒成立， 即??(??)在(0,?+∞)上是增函数．

当??<0时，由??′(??)＝0，得??=???∈(0,+∞)． 当??∈(0,???)时，??′(??)>0，??(??)单调递增； 当??∈(???,+∞)时，??′(??)<0，??(??)单调递减；

证明：当??＝1时，??(???1)=ln(???1)????1，??∈[2,?+∞)． 令??(??)=ln(???1)????1?2??+5． ??′(??)=???1+(???1)2?2=?

1

1

(2???1)(???2)(???1)21

1

11

1

．

当??>2时，??′(??)<0，??(??)在(2,?+∞)单调递减． 又??(2)＝0，所以??(??)在(2,?+∞)恒为负． 所以当??∈[2,?+∞)时，??(??)≤0． 即ln(???1)????1?2??+5≤0．

1

试卷第14页，总19页

故当??＝1，且??≥2时，??(???1)≤2???5成立．

已知函数??(??)=?????+??ln??(??∈??).

(1)若函数??(??)在[1,?+∞)上单调递增，求实数??的取值范围；

(2)已知??(??)=2??2+(???1)??+??，??≤?

1

1

3√2，?(??)2

1

=??(??)+??(??).当时??=1时，

?(??)有两个极值点??1，??2，且??1

解(1)∵ ??(??)=?????+??ln??， ∴ ??

′

1

(??)=1+??2+??，

1??

∵ ??(??)在[1,?+∞)上单调递增， ∴ ??

′

(??)=1+??2+??≥0在[1,?+∞)上恒成立，

1

1??

∴ ??≥?(??+??)在[1,?+∞)上恒成立， ∵ ??=??????在[1,?+∞)上单调递减， ∴ ??≤?2， ∴ ??≥?2.

(2)?(??)=??(??)+??(??)=ln??+??2+????，其定义域为(0,?+∞)，

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1

求导得，?′(??)=

??2+????+1

??

，

若?′(??)=0两根分别为??1，??2， 则有??1???2=1，??1+??2=???， ∴ ??2=??，

1

1

从而有??=???1???，

1

1

∵ ??≤?3√2，??1

2

∴ ??1∈(0,?√]，

2

则?(??1)??(??2)=?(??1)??(??)

1

21

=2ln??1+2(??12???2)+(???1???)(??1???)，

1

1

1

1111

令??(??)=2ln???2(??2???2)，??∈(0,?√]，

2则[?(??1)??(??2)]min=????min， ??′(??)=?

(??2?1)2

??3211

2，

当??∈(0,?√]时，??′(??)<0，

2

试卷第15页，总19页

∴ ??(??)在??∈(0,?√2]上单调递减，

2

√

??(??)min=??(2)=?ln2+4，

23

∴ ?(??1)??(??2)的最小值为?ln2+4.

【考点】

利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】

（1）利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．

（2）求出函数?(??)的表达式，求出函数?(??)的导数，利用函数极值，最值和导数之间的关系进行求解． 【解答】

解(1)∵ ??(??)=?????+??ln??， ∴ ??

′

3

1

(??)=1+??2+??，

1??

∵ ??(??)在[1,?+∞)上单调递增， ∴ ??

′

(??)=1+??2+??≥0在[1,?+∞)上恒成立，

1

1??

∴ ??≥?(??+??)在[1,?+∞)上恒成立， ∵ ??=??????在[1,?+∞)上单调递减， ∴ ??≤?2， ∴ ??≥?2.

(2)?(??)=??(??)+??(??)=ln??+2??2+????，其定义域为(0,?+∞)， 求导得，?′(??)=

??2+????+1

??

1

1

，

若?′(??)=0两根分别为??1，??2， 则有??1???2=1，??1+??2=???， ∴ ??2=??，

1

1

从而有??=???1???，

1

1

∵ ??≤?3√2，??1

2

∴ ??1∈(0,?√2]，

2

则?(??1)??(??2)=?(??1)??(??)

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1

=2ln??1+2(??12???2)+(???1???)(??1???)，

1

1

1

1111

令??(??)=2ln???2(??2???2)，??∈(0,?√]，

2

试卷第16页，总19页

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