高中数学二轮复习 专题2 三角函数与平面向量（第2讲）课时作业 新人教A版

【走向高考】2015届高中数学二轮复习 专题2 三角函数与平面向量

（第2讲）课时作业 新人教A版

一、选择题

1．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 [答案] B

[解析] ∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0，

∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．

2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为( ) ππA.6 B.3 π5ππ2πC.6或6 D.3或3 [答案] D

[解析] 由(a2＋c2－b2)tanB＝3ac得，

a2＋c2－b2

·tanB＝3，再由余弦定理cosB＝ac

a2＋c2－b23π2π

得，2cosB·tanB＝3，即sinB＝，∴角B的值为2ac23或3，故应选D.

3．(文)在△ABC中，已知b·cosC＋c·cosB＝3a·cosB，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边，

则cosB的值为( ) 11A.3 B．－3 22C.3

22D．－3 [答案] A

[解析] 由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB， ∴sin(B＋C)＝3sinAcosB， ∴sinA＝3sinAcosB， 1

∵sinA≠0，∴cosB＝3.

(理)(2013·东北三省四市联考)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是( ) 22A．－3 B.2 11C.2 D．－2 [答案] B

- 1 -

tanA＋tanB

[解析] 由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A

1－tanA·tanB3ππ2

＋B＝4，则C＝4，cosC＝2，故选B.

4．设tanα、tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 [答案] A

[解析] 本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式． 由已知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，

tanα＋tanβ3

所以tan(α＋β)＝＝＝－3.故选A.

1－tanα·tanβ1－2

[点评] 运用根与系数的关系，利用整体代换的思想使问题求解变得简单．

tanA

5．(2014·哈三中二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且a2－c2＝2b，tanC＝3，则b等于( )

A．3 B．4 C．6 D．7 [答案] B

tanA

[解析] ∵tanB＝3，∴sinAcosC＝3sinCcosA， b2＋c2－a2

∴sinB＝sin(A＋C)＝4sinCcosA，∴b＝4c·2bc， ∴b2＝2(a2－c2)＝4b，∵b>0，∴b＝4.

ππ

6．(文)函数y＝cos(x＋2)＋sin(3－x)具有性质( ) π

A．最大值为1，图象关于点(6，0)对称 π

B．最大值为3，图象关于点(6，0)对称 π

C．最大值为1，图象关于直线x＝6对称 π

D．最大值为3，图象关于直线x＝6对称 [答案] B

31

[解析] y＝－sinx＋2cosx－2sinx 31π

＝－3(2sinx－2cosx)＝－3sin(x－6)， π

∴最大值为3，图象关于点(6，0)对称． (理)给出下列四个命题：

πkπ3π

①f(x)＝sin(2x－4)的对称轴为x＝2＋8，k∈Z；

- 2 -

②函数f(x)＝sinx＋3cosx最大值为2； ③函数f(x)＝sinxcosx－1的周期为2π； πππ

④函数f(x)＝sin(x＋4)在[－2，2]上是增函数． 其中正确命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] B

ππ

[解析] ①由2x－4＝kπ＋2，k∈Z， kπ3π

得x＝2＋8(k∈Z)，

πkπ3π

即f(x)＝sin(2x－4)的对称轴为x＝2＋8，k∈Z，正确； π

②由f(x)＝sinx＋3cosx＝2sin(x＋3)知， 函数的最大值为2，正确；

1

③f(x)＝sinxcosx－1＝2sin2x－1，函数的周期为π，故③错误；

ππ

④函数f(x)＝sin(x＋4)的图象是由f(x)＝sinx的图象向左平移4个单位得到的，故④错误． 二、填空题

7．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．

[答案] 153

[解析] 设三角形的三边长分别为a－4，a，a＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a1

－4)2－2a(a－4)·cos120°，则a＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为S＝2×6×10×sin120°＝153.

8．(文)(2014·新课标Ⅱ理，14)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________． [答案] 1

[解析] ∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)

＝sin(x＋φ)·cosφ＋cos(x＋φ)·sinφ－2sinφcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)·cosφ－cos(x＋φ)·sinφ ＝sinx≤1.

∴最大值为1.

1

(理)(2014·天津理，12)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b－c＝4a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________． 1[答案] －4

[解析] ∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c， 1

又∵b－c＝4a，

- 3 -

31∴b＝4a，c＝2a，

91a2＋4a2－a2b2＋c2－a2161

∴cosA＝＝＝－2bc314. 2×4a×2a→→→

9．在△ABC中，(AB－3AC)⊥CB，则角A的最大值为________． π

[答案] 6

→→→→→→→

[解析] 由已知可得(AB－3AC)·CB＝0，AB·CB＝3AC·CB，由数量积公式可得accosB＝3abcos(π－C)＝－3abcosC，可化为ccosB＝－3bcosC， 由正弦定理可得sinCcosB＝－3sinBcosC，

化简得sinA＝－2sinBcosC，可得cosC<0，角C为钝角，角A为锐角，又sinA＝sin(C－B)－sin(C＋B)，

11

即有sinA＝2sin(C－B)≤2， ππ

综上，0

(2)求△ABC的面积．

63

[解析] (1)∵cosA＝3.0

又B＝A＋2.∴sinB＝sin(A＋2)＝cosA＝3. 又a＝3.∴由正弦定理得． ab＝sinAsinB 即3b＝ 3633

∴b＝32.

π3(2)∵cosB＝cos(A＋2)＝－sinA＝－3，

33661

∴在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝3×(－3)＋3×3＝3 11132

∴S△ABC＝2absinC＝2×3×32×3＝2. - 4 -