高考数学试题-2018年高考理科数学冲刺复习检测13 最新

课时作业

1．(2016·南昌第一次测试)若等比数列的各项均为正数，前4项81

的和为9，积为4，则前4项倒数的和为( )

39A.2 B.4 C．1

D．2

D [解析] 设等比数列的首项为a1，公比为q，则第2，3，4项分别为a1q，a1q2，a1q3，依题意得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝9，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3181239

a1·a1q·a1q·a1q＝4?a1q＝2，两式相除得＝a＋3a21q1

2

3

111

a1q＋a1q2＋a1q3＝2.

2．设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4a8＝32，则S11的最小值为( )

A．222 C．22

B．442 D．44

B [解析] 因为数列{an}为各项均为正数的等差数列，所以a4＋（a1＋a11）×111111

a8≥2a4a8＝82，S11＝＝2(a4＋a8)≥2×82＝442，2故S11的最小值为442，当且仅当a4＝a8＝42时取等号．

121

3．设等比数列{an}的各项均为正数，且a1＝2，a4＝4a2a8，若b＝

n

log2a1＋log2a2＋…＋log2an，则数列{bn}的前10项和为( )

20A．－11 9C．－5

20B.11 9D.5

2

A [解析] 设等比数列{an}的公比为q，因为a4＝4a2a8，所以

?1?11

(a1q)＝4a1q·a1q，即4q＝1，所以q＝2或q＝－2(舍)，所以an＝?2?

??

32

7

2

n

1

＝2，所以log2an＝log22＝－n，所以b＝－(1＋2＋3＋…＋n)＝－

n

－n

－n

?11?n（1＋n）2

，所以bn＝－＝－2?n－n＋1?，所以数列{bn}的2n（1＋n）??

1??11?1??1????1?

前10项和为－2×??1－2?＋?2－3?＋…＋?10－11??＝－2?1－11?＝－

??????????20

11.

4．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数为( )

16A.31 15C.31

16B.29 15D.29 B [解析] 由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为a1，a2，a3，…，an，其公差为d，则a1＝5，S30＝390，30×2916

所以30a1＋2×d＝390，所以d＝29.

5．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1an－1＝an(n≥2)，则数列{an}的前40项和S40等于( )

A．20 C．60

C [解析] 由an＋1＝

B．40 D．80

an(n≥2)，a1＝1，a2＝3，可得a3＝3，a4an－1

11

＝1，a5＝3，a6＝3，a7＝1，a8＝3，…，这是一个周期为6的数列，

2626

一个周期内的6项之和为3，又40＝6×6＋4，所以S40＝6×3＋1＋3＋3＋1＝60.

?1?

6．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝21，记数列?a?的前n项和为

?n?

m

Sn，若S2n＋1－Sn≤15对任意的n∈N*恒成立，则正整数m的最小值为( )

A．3 C．5

B．4 D．6

C [解析] 在等差数列{an}中，因为a2＝5，a6＝21，所以

??a1＋d＝5，111?解得a1＝1，d＝4，所以a＝＝.因

1＋4（n－1）4n－3n??a1＋5d＝21，

为(S2n＋1－Sn)－(S2n＋3－Sn＋1)

?111??111?

＝?a＋a＋…＋a?－?a＋a＋…＋a?

n＋22n＋1?n＋32n＋3??n＋1?n＋2

?11?111

－?＝－－＝－－＝?

an＋1a2n＋2a2n＋34n＋18n＋58n＋9?8n＋28n＋5?

111

?11?

＋?8n＋2－8n＋9?>0，所以数列{S2n＋1－Sn}(n∈N*)是递减数列，数列??

{S2n

＋1

111414m

－Sn}(n∈N*)的最大项为S3－S1＝＋＝，所以≤，

59454515

14

m≥3.又m是正整数，所以m的最小值是5.

7．在数列{an}中，a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝1.记Sn是数列{an}的前n项和，则S100＝________．

[解析] 当n＝2k时，a2k＋2＋a2k＝1；当n＝2k－1时，a2k＋1＝a2k－

1＋1，所以

a2k－1＝1＋(k－1)×1＝k.所以S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2

1＋50

＋a4＋a6＋a8＋…＋a100)＝2×50＋25＝1 275＋25＝1 300.

[答案] 1 300

8．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n，则Sn＝________．

[解析] 由Sn＝2an－2n可得S1＝a1＝2a1－2，a1＝2.又Sn＝2(Sn－SnSn－1SnS1Sn－1)－2(n≥2)，所以Sn＝2Sn－1＋2(n≥2)，2n－2n－1＝1(n≥2)，2n＝2

n

n

＋n－1＝n，故Sn＝n·2n.

[答案] n·2n

9．(2016·高考浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1

＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________．

??a1＋a2＝4

[解析] 由于?，解得a1＝1.由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，

?a2＝2a1＋1?

1?1?13

得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋2＝3?Sn＋2?，所以{Sn＋2}是以2为首项，??3n－113n－1

3为公比的等比数列，所以Sn＋2＝2×3，即Sn＝2，所以S5＝121.

[答案] 1 121

10．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n>1，n∈N*，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)都成立，则S10＝________．

??Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋2，

[解析] 因为?

??Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋2，

所以an＋2＋an＝2an＋1，

所以数列{an}从第二项开始为等差数列，当n＝2时，S3＋S1＝2S2

＋2，所以a3＝a2＋2＝4，所以S10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋9（2＋18）

＝91. 2

[答案] 91

11．(2016·山西四校第二次联考)已知等比数列{an}的各项均为正数，a1＝1，公比为q；等差数列{bn}中，b1＝3，且{bn}的前n项和为S2Sn，a3＋S3＝27，q＝a. 2

(1)求{an}与{bn}的通项公式；

3

(2)设数列{cn}满足cn＝2S，求{cn}的前n项和Tn.

n

S2[解] (1)设数列{bn}的公差为d，因为a3＋S3＝27，q＝a，所以q2

2

＋3d＝18，6＋d＝q2，联立方程可求得q＝3，d＝3，所以an＝3n－1，bn＝3n.

n（3＋3n）33211

(2)由题意得：Sn＝，c＝＝··＝n

22Sn23n（n＋1）n－1

， n＋1

11111111n

所以Tn＝1－2＋2－3＋3－4＋…＋n－＝1－＝.

n＋1n＋1n＋112．(2016·云南第一次统一检测)设数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，3an－2Sn＝2.

(1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：Sn＋2Sn＜S2n＋1.

[解] (1)因为对任意正整数n，3an－2Sn＝2，所以3an＋1－2Sn＋1＝2， 所以3an＋1－3an－2Sn＋1＋2Sn＝0， 即3an＋1－3an－2(Sn＋1－Sn)＝0，