苏锡常镇、宿迁市2015～2016学年度高三教学情况调研（一）（十四）

1. (1，3) 解析：A∩B＝{x|1＜x＜3，x∈R}．本题考查了集合的交集的概念．本题属于容易题．

2.5 解析：z＝－3－4i，则复数z的模为5.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．

401

3.320 解析：由题意知＝，则n＝320.本题考查了频数和频率的概念及计算公式．本题属于容易题．

n8

4.(－2，4) 解析：本题考查双曲线的标准方程的基础知识与一元二次不等式的解法．本题属于容易题． 2

5. 解析：在周一至周五的五天中随机选择2天共有10种情况，选择的2天恰好为连续2天的情况共有45

2

种，则所求的概率为.本题考查用列举法求古典概型的概率．本题属于容易题．

5

6.6 解析：由题设可知，循环体执行3次，第一次x值为4，第二次x值为5，第三次x值为6，符合题意．本题考查了算法语句的基本概念．本题属于容易题．

1121

7. 解析：四棱锥PAA1C1C的体积为332＝.本题考查四棱锥的体积求法，棱长与体积的关系．本3323题属于容易题．

8.2 解析：S1＝1，S2＝2＋d，S4＝4＋6d成等比数列，得(2＋d)2＝4＋6d，d不为零，得d＝2.本题考查了等比数列前n项和公式，考查了方程的思想．本题属于容易题．

x0＋y0x0＋y0?－x0＋y0x0－y0?→→

9.－2 解析：设M(x0，y0)，可求得A?，B(0，y0)，MA＝?，2??2?2，2?，MB＝(－x0，

2

x2＋4→→x0－x0y0→→2

0)，MA2MB＝，而M(x0，y0)在f(x)＝上，则x0y0＝x20＋4，x0－x0y0＝－4，则MA2MB＝－2.本2x

题考查了向量数量积的坐标运算、直线垂直和交点求法．本题属于中等题．

10.(2，＋∞) 解析：设钝角三角形三内角C，B，A成等差数列，则2B＝A＋C.因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，从而B＝60°.设钝角三角形的三内角为60°－α，60°，60°＋α，则90°＜60°＋α＜120°，即

＋α）asin（60°

30°＜α＜60°，设60°＋α对应a边，60°－α对应b边，由正弦定理，得＝＝

bsin（60°－α）

sin60°cosα＋cos60°sinα3（m－1）3

＝m(分子分母同时除以cosα≠0)，∴tanα＝.∵30°＜α＜60°，∴＜3sin60°cosα－cos60°sinαm＋1tanα＜3，∴m＞2，故m的取值范围为(2，＋∞)．本题考查了等差中项的概念，正弦定理以及和差角公式，

弦切互化．本题属于中等题．

3611. 解析：∵圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0，整理，得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为

4

(3，0)；设直线l的方程为y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立(x－3)2＋y2＝4，y＝kx，消去y可得(1＋k2)x2－6x

1131515

＋5＝0，由题知x1＝x2, y1＝y2，由韦达定理化简可得k2＝，即k＝±，直线l的方程为y＝±x，由点

22555

36

到直线的距离公式知，所求的距离为.本题考查了圆的标准方程，直线与圆，点到直线的距离公式．本题属于

4

中等题．

256

3，? 解析：函数f(x)的图象如图所示，因为存在x1，x2∈R，当0≤x1＜4≤x2≤6，f(x1)＝f(x2)，所12.?27??

以1≤x1≤3，

2

故x1f(x2)＝x1f(x1)＝－x31＋4x1.

22

令g(x1)＝－x31＋4x1，x1∈[1，3]，则g′(x1)＝－3x1＋8x1.

88?8?256??1，?，，3由g′(x1)>0得x1∈?由g′(x)<0得x∈，所以g(x)＝g(1)＝3，g(x)＝g111min1max?3??3??3?＝27.所以x1f(x2)256

3，?.本题考查函数图象，以及导数在求最值中的运用．本题属于难题． 的取值范围是?27??

1－xx－1－，＋∞? 解析：13.(－∞，－2]∪?因为f(x)＝2＋a，所以g(x)＝bf(1－x)＝b(2＋a)，由f(x)≥g(x)得，?4?

－－

2x1＋a≥b(2x＋a)，所以22x＋2a(1－b)2x－2b≥0.令2x＝t，则t2＋2a(1－b)t－2b≥0.令h(t)＝t2＋2a(1－b)t－2b，

??h（0）≤0，??－2b≤0，

因为f(x)≥g(x)的解的最小值为2，所以h(t)≥0的解的最小值为4，故?即?

?h（4）＝0，??16＋8a（1－b）－2b＝0，?

??b≥0，即? ?4a（1－b）＝b－8，?

b－87①当b＝1时，显然不成立；②当b≠1时，4a＝＝－1－，因为b≥0且b≠1，所以4a≤－8或4a

1－b1－b

1

－，＋∞?.本题主要考查指数函数、二次函数的最值与不等式等内容综合运用．本＞－1，即a∈(－∞，－2]∪??4?

题属于难题．

14.2 解析：(解法1)因为实数x，y满足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，所以(x＋2y)2＋4x2y2－8xy＝4，即(x＋2y)2

＋4(xy－1)2＝8，所以(x＋2y)2＝8－4(xy－1)2，所以当(xy－1)2＝0时，即xy＝1时，x＋2y取得最大值，此时x

2x

＝2，y＝，所以＝2.(解法2)因为实数x，y满足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，所以(x－2y)2＋4x2y2＝4，令x－

2y

2y＝2cosθ，xy＝sinθ，则(x＋2y)2＝(x－2y)2＋8xy＝4cos2θ＋8sinθ，所以(x＋2y)2＝－4sin2θ＋8sinθ＋4，所

x

以当sinθ＝1时，(x＋2y)2取得最大值，此时xy＝1，x－2y＝0，所以＝2.本题考查了代数式的变形，方程的综

y

合运用．本题属于难题．

ππ2π

15.解：(1) 由题意知f(x)＝3sin?2x＋?＋cos(2x＋)＝2sin?2x＋?，(4分)

33?3???

2π

所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.(6分)

2

π2ππ

当－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)时，f(x)单调递增，

232

7ππ

解得x∈?－＋kπ，－＋kπ?(k∈Z)，

12?12?

7ππ

所以f(x)的单调递增区间为?－＋kπ，－＋kπ?(k∈Z)．(8分)

12?12?

π2π4πππ

(2) 因为x∈?－，?，所以≤2x＋≤.(10分)

333?63?

2πππ

当2x＋＝，即x＝－时，f(x)取得最大值2；(12分)

32122π4ππ

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－3.(14分)

333

1

16.证明：(1) 取PB中点E，连结EA，EN，在△PBC中，EN∥BC且EN＝BC，

2

1

又AM＝AD，AD∥BC，AD＝BC，(3分)

2

∴EN∥AM且EN＝AM，四边形ENMA是平行四边形，(5分) ∴MN∥AE.

∵MN?平面PAB，AE?平面PAB， ∴MN∥平面PAB.(7分)

(2) 过点A作PM的垂线，垂足为H，

∵平面PMC⊥平面PAD，平面PMC∩平面PAD＝PM，AH⊥PM，AH?平面PAD， ∴AH⊥平面PMC.

∵CM?平面PMC，∴AH⊥CM.(10分) ∵PA⊥平面ABCD，CM?平面ABCD， ∴PA⊥CM.(12分)

∵PA∩AH＝A，PA，AH?平面PAD， ∴CM⊥平面PAD.

∵AD?平面PAD，∴CM⊥AD.(14分)

17.解：(1) 因为OA＝x，OB＝y，AB＝y＋1，

x2－1222

由余弦定理，x＋y－2xycos120°＝(y＋1)，解得y＝，(3分)

2－x

由x＞0，y＞0得1＜x＜2.

x2－11＋3

又x＞y，得x＞，解得1＜x＜，(6分)

22－x

?1＋3?.(7分)

所以OA的取值范围是?1，?2??

(2) M＝kOB＝ky，N＝43k2S△AOC＝3kx，

x2－1??则N－M＝k(3x－y)＝k?3x－?，(8分) 2－x??

?3－3?，

设2－x＝t∈??

?2，1?

（2－t）2－1??则N－M＝k3（2－t）－

t??

?4t＋3?? ＝k?10－t????

3

≤k?10－24t·?＝(10－43)k.(11分)

t??

33?3－3?3

当且仅当4t＝即t＝∈?取等号，此时x＝2－，(13分) ?，1t2?22?

3

所以当x＝2－时，N－M的最大值是(10－43)k.(14分)

2

a2－b2119

18.解：(1) 由题意知2＋2＝1，＝，

a4ba2

解得a2＝4，b2＝3.(2分)

x2y2

所以椭圆C：＋＝1.(3分)

43

(2) ①设直线l的方程为x＝my＋1，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

x＝my＋1，??22由?xy化简得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， ??4＋3＝1，易知Δ＞0，(5分)

6m9

所以y1＋y2＝－2，y1y2＝－2，

3m＋43m＋4

3333y1－y2－y1－y2－

2222

所以kAP2kBP＝2＝2 my2x1－1x2－1my1

39y1y2－（y1＋y2）＋

241

＝22 my1y2

13

＝－－，(7分)

m4

13?2913?所以t＝kAB2kAP2kBP＝－2－＝－?m＋8?＋，(9分)

m4m64

89

所以当m＝－时，t有最大值.(10分)

364

3

②设直线l的方程为y＝x＋n，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

2

3

y＝x＋n，

2

得3x2＋23nx＋2n2－6＝0， 22

xy

＋＝1，43

Δ＝(23n)2－433(2n2－6)＞0，即－6＜n＜6.

2n2－623nx1＋x2＝－，x1x2＝，(12分)

33

2222222

OA2＋OB2＝x21＋y1＋x2＋y2＝(x1＋x2)＋(y1＋y2)

22

3???22?3＝x1＋x2＋＋

?2x1＋n??2x2＋n?

722＝(x21＋x2)＋3n(x1＋x2)＋2n 4

???

77

＝(x1＋x2)2－x1x2＋3n(x1＋x2)＋2n2(14分) 42

22

7?23?72n－623?＝－－2＋3n?－＋2n2 nn4?33?2?3?＝7.(16分)

ex

19.解：(1) 由函数f(x)＝2－(x－2lnx)(x＞0)，

x

（x－2）（ex－x2）

可得f′(x)＝.(2分)

x3因为当x＞0时，ex＞x2.理由如下：

要使x＞0时，ex＞x2，只要x＞2lnx，设φ(x)＝x－2lnx，

2x－2

φ′(x)＝1－＝，

xx

于是当0＜x＜2时，φ′(x)＜0；当x＞2时，φ′(x)＞0.

即φ(x)＝x－2lnx在x＝2处取得最小值φ(2)＝2－2ln2＞0，即x＞0时，x＞2lnx， 所以ex－x2＞0.(5分)

于是当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.

所以函数f(x)在(0，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．(6分)

e2

所以f(x)在x＝2处取得最小值f(2)＝－2＋2ln2.(7分)

4

ex??2－k（x－2）x2

?x?（x－2）（e－kx）

(2) 因为f′(x)＝＝， 3xx

ex

当k≤0时，2－k＞0，所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，4)上单调递增，不存在三个极值点，所以k＞

x

0.(8分)

ex??2－k（x－2）x2

?x?（x－2）（e－kx）

又f′(x)＝＝， 3xx

ex2（x－2）ex

令g(x)＝2，得g′(x)＝，

xx3易知g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，则g(x)在x＝2处取得极小值，

e2e4

得g(2)＝，且g(4)＝.(10分)

416

e2e4?ex?于是可得y＝k与g(x)＝2在(0，4)内有两个不同的交点的条件是k∈?4，16?.(12分)

xxe

设y＝k与g(x)＝2在(0，4)内有两个不同交点的横坐标分别为x1，x2，则有0＜x1＜2＜x2＜4，下面列表分

x

析导函数f′(x)及原函数f(x)：

x x1 2 x2 4 (0，x1) (x1，2) (2，x2) (x2，4) 0 2 x－2 － － － ＋ ＋ ＋ x24eee0 0 ＋ － －k － ＋ －k 2－k x416f′(x) 0 0 0 － ＋ － ＋ ＋ 极小 极小 f(x) 递减 递增 极大值 递减 递增 值 值 可知f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，2)上单调递增， 在(2，x2)上单调递减，在(x2，4)上单调递增， 所以f(x)在区间(0，4)上存在三个极值点．(15分)

e2e4??即函数f(x)在(0，4)内存在三个极值点的k的取值范围是?4，16?.(16分)

1

20.解：(1) 由题意得an＜an＋1＜2an，(2分)

23x

∴＜x＜3，＜4＜2x，解得x∈(2，3)．(4分) 42