高考数学二轮复习专题三第2讲数学归纳法数列的通项公式与数列求和教案122

高考数学二轮复习专题三第2讲数学归纳法数列的通项公式与数列

求和教案122

?1?n－1?以an＝2－?. ?2?

??

(2)法一：(递推法)

an＝2an－1＋3＝2(2an－2＋3)＋3＝22·an－2＋2×3＋3

＝23an－3＋22×3＋2×3＋3＝…

＝2n－1·a1＋2n－2·3＋2n－3·3＋…＋3 ＝2n－1＋3(2n－2＋2n－3＋…＋1)＝2n＋1－3. 法二：(构造法)

设an＋a＝2(an－1＋a)， 即an＝2an－1＋a，所以a＝3. 所以an＋3＝2(an－1＋3)，

所以{an＋3}是公比为2的等比数列． 所以an＋3＝(a1＋3)·2n－1. 又a1＝1，所以an＝2n＋1－3.

?an1?2

?＋(3)由题知Sn＝??22?，当n＝1时，易得a1＝1. ???an1?2?an－11?2

???＋＋an＝Sn－Sn－1＝?－?22??2? 2?????anan－1??anan－1?

???

＋1?－＝?＋· ???22??2??2

2?a2??－ann－1????anan－1?＝??＋?2－2?， 4????

2

an＋an－1a2n－an－1

整理得

2

＝4

?an－an－1＝2.

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高考数学二轮复习专题三第2讲数学归纳法数列的通项公式与数列

求和教案122 所以an＝2n－1.所以Sn＝n2.

?1?n－1?

【答案】 (1)an＝2－? ?2?

??

(2)2n＋1－3 (3)n2

由递推式求数列通项公式的常见类型

(1)形如an＋1＝an＋f(n)的数列，求解此类数列的通项公式一般先通过变形为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法an＝(an－an－1)＋(an－1－

an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1，代入相应的关系式，再加以合理的分析与

求解．同理，形如an＋1＝f(n)an型数列可转化为用累乘法求解．

(2)形如an＋1＝can＋d(c≠0，1)的数列，求解此类线性关系的数列的通项公式一般可用待定系数法，通过化归、转化为新的等比数列

an＋1＋λ＝c(an＋λ)，求出λ后，结合新等比数列的公式或性质来求解

与转化．

(3)由an与Sn的递推关系求数列通项公式的步骤 第一步：令n＝1，由Sn＝f(an)求出a1；

第二步：令n≥2，构造an＝Sn－Sn－1，用an代换Sn－Sn－1(或用Sn－Sn－1代换an，这要结合题目的特点)，由递推关系求通项公式；

第三步：验证当n＝1时的结论是否适合当n≥2时的结论． 如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示．

[对点训练]

(·浙江省重点中学高三联考)已知数列{an}满足：2n－1a1＋2n－2a2

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求和教案122 ＋…＋2an－1＋an＝n，n∈N*.

(1)求a1，a2及数列{an}的通项公式；

bn＋1－bn(2)若数列{bn}满足b1＝1，＝2n，求数列{bn}的通项公式．

an解：(1)n＝1时a1＝1,

n＝2时2a1＋a2＝2?a2＝0

2n－1a1＋2n－2a2＋…＋2an－1＋an＝n① 2n－2a1＋2n－3a2＋…＋an－1＝n－1(n≥2)② ①－2×②?an＝2－n(n≥2)，

a1＝1满足上式，故an＝2－n.

(2)bn＋1－bn＝(2－n)2n，有

?

?b－b＝0×2?…??b－b＝（3－n）×2

3

2

2

b2－b1＝1×21

累加整理得，

（n≥2）

nn－1

n－1

bn＝1＋1×21＋0×22＋…＋(3－n)×2n－1(n≥2)①，

2bn＝2＋1×22＋0×23＋…＋(3－n)×2n(n≥2)②，

n－2

1－2

②－①得bn＝2－1－1×21＋22＋(3－n)2n＝(4－n)2n1－2

－5(n≥2)，

b1＝1满足上式，故bn＝(4－n)2n－5.

数列求和

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求和教案122

[核心提炼]

几种数列求和的常用方法

(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．

(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．

(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．

(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．

[典型例题]

(1)(2018·高考浙江卷)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3

＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n.

①求q的值；

②求数列{bn}的通项公式．

2

(2)已知数列{an}满足a1＝1，且a2n＋1＋an＝2(an＋1an＋an＋1－an1－)． 2

①求数列{an}的通项公式；

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