高考数学二轮复习专题三第2讲数学归纳法数列的通项公式与数列求和教案122

高考数学二轮复习专题三第2讲数学归纳法数列的通项公式与数列

求和教案122

第2讲 数学归纳法、数列的通项公式与数列求和

数学归纳法 [核心提炼]

用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题，证明步骤： (1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时，命题成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

由(1)(2)，可知命题对于从n0开始的所有正整数都成立．

[典型例题]

(·宁波市九校联考)已知n∈N*，Sn＝(n＋1)·(n＋2)…(n＋n)，Tn＝2n×1×3×…×(2n－1)．

(1)求S1，S2，S3，T1，T2，T3；

(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明． 【解】 (1)S1＝T1＝2，S2＝T2＝12，S3＝T3＝120. (2)猜想：Sn＝Tn(n∈N*)． 证明：①当n＝1时，S1＝T1；

②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，Sk＝Tk，

即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)， 则当n＝k＋1时，

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求和教案122

Sk＋1＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k－1)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)

＝(k＋2)(k＋3)…(2k)(2k＋1)(2k＋2)

2k×1×3×…×（2k－1）＝×(2k＋1)(2k＋2)

k＋1＝2k＋1×1×3×…×(2k－1)(2k＋1)＝Tk＋1. 即n＝k＋1时也成立，

由①②可知，n∈N*，Sn＝Tn成立．

利用数学归纳法时应注意以下两点

(1)这两步合为一体才是数学归纳法，缺一不可．其中第一步是基础，第二步是递推的依据．

(2)用数学归纳法证明与不等式有关的命题，在由n＝k证明n＝k＋1时，要准确利用证明不等式的基本方法：比较法、分析法、综合法、放缩法等．

[对点训练]

(·高考浙江卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记cn＝N*.

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an，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn<2n，n∈2bn高考数学二轮复习专题三第2讲数学归纳法数列的通项公式与数列

求和教案122 解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意得

a1＋2d＝4，a1＋3d＝3a1＋3d，

解得a1＝0，d＝2. 从而an＝2n－2，n∈N*. 所以Sn＝n2－n，n∈N*.

由Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列得 (Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)． 12

解得bn＝(Sn＋1－SnSn＋2)．

d所以bn＝n2＋n，n∈N*. (2)证明：cn＝N*.

我们用数学归纳法证明．

①当n＝1时，c1＝0<2，不等式成立； ②假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，即

an＝2bn2n－2

＝2n（n＋1）n－1

，n∈

n（n＋1）

c1＋c2＋…＋ck<2k，

那么，当n＝k＋1时，

c1＋c2＋…＋ck＋ck＋1<2k＋

k（k＋1）（k＋2）

<2k＋

12<2k＋＝2k＋2(k＋1－k)＝2k＋1， k＋1k＋1＋k即当n＝k＋1时不等式也成立．

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求和教案122 根据①和②知，不等式c1＋c2＋…＋cn<2n对任意n∈N*成立．

由递推式求数列通项公式

[核心提炼]

利用递推法解题的一般步骤 (1)确定初始值； (2)建立递推关系； (3)利用递推关系求通项．

[典型例题]

(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n－an，则数列

{an}的通项公式为________．

(2)在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项公式an＝________．

(3)设Sn是正项数列{an}的前n项和，且an和Sn满足：4Sn＝(an＋1)2(n＝1，2，3，…)，则Sn＝________．

【解析】 (1)由于Sn＝2n－an，所以Sn＋1＝2(n＋1)－an＋1，后1

式减去前式，得Sn＋1－Sn＝2－an＋1＋an，即an＋1＝an＋1，变形

211

为an＋1－2＝(an－2)，则数列{an－2}是以a1－2为首项，为公比

22

?1?n－1

?的等比数列．又a1＝2－a1，a1＝1，则an－2＝(－1)·?，所?2?

??

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