(完整word版)精讲精练：因式分解方法分类总结-培优(含答案)

a2 c2 b2 2ac 0 a2 2ac c2 (a c b)(a c b) 0

又 a c b a c b

解：1

m2 n2 2mn

b2 0，即(a c)2 b2 0

1 (m2 2mn n2) 1 (m

n)2

(1 m n)(1 m n)

说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式， 但搭配在一起不能分解到底， 应把后三项结合在一起， 再应用完全a c b 0, a c b 0 a

b c, a

b c

即 a

b c a b

3.在方程中的应用以a、b、c为三边能构成三角形

例：求方程x y xy的整数解

分析：这是一道求不定方程的整数解问题， 有x与y，故可考虑借助因式分解求解

解：

x y xy

xy x y 0 xy

x y 1

1

即 x(y 1) (y 1)

1 (y 1)(x 1) 1

x,y是整数 x 1 1 x 1 1 y 1 1 或

y 1 1

x 0 x

2 或

y

0 y

2

4、中考点拨

例1?分解因式： 1 m2 n2 2mn ___________________ 平方公式和平方 差公式。

直接求解有困难，因等式两边都含

2 2

例2 .分解因式： x y x y _______________________ 解：x2 y2 x y (x2 y2) (x y)

(x y)(x y) (x y) (x y)(x y 1)

说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。

例3.分解因式：x3 3x2 4x 12 ______________________

3

2

3

2

解：x 3x 4x 12 x 4x 3x 12

x(x2 4) 3(x2 4)

(x 3)( x 2)(x

2)

说明：分组的目的是能够继续分解。

5、题型展示：

例 1.分解因式：m2( n2

1) 4mn n2

1

解：m2( n

2

1) 4mn n2

1

m n m 4mn n 1 2 2 2 , 2 ,

2 2 2 2

(m n 2mn 1) (m 2mn n ) 2 2

(mn 1) (m n)

(mn m n 1)( m n m n 1)

说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把

4mn分成

2mn 和2mn，配成完全平方和平方差公式。 2 2 例2.已知：a2 b2

1， c2 d2

1，且 ac bd 0，求ab+cd的值。

解：ab+cd= ab 1

cd 1 2 22 2 2b2)

ab( cd) cd(a abc2cdb2

abd2 cda2 (abc2 cdb ) (abd cda ) 2 2 2

bc(ac

bd) ad(bd ac)

(ac bd)(bc ad)

ac bd 0

原式 0

说明：首先要充分利用已知条件

a2 b2 1，c2 d2

1中的(任何数乘以1，

其值不变 )，其次利用分解因式将式子变形成含有

ac+bd因式乘积的形式，由

ac+bd=0可算出结果。

3 例3.分解因式：x 2x 3

分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当 x=1时，它

的值为0，这就意味着x 1是x3 2x 3的一个因式，因此变形的目的是凑 x 1这

个因式。

解一(拆项)

3 x

2x 3

3x3

3 2x3

2x

3(x 1)(x2 x 1) 2x(x 1) 2

(x

1)(x2

x 3)

解二 (添项)：

x3

2x 3

x3 x2 x2

2x 3

x2 (x 1)

(x

1)(x 3)

(x

1)(x2 x

3)

说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法， 请同学们试拆看看是否可解？

【实战模拟】

1.填空题：

(1) 分解因式： 2 a 3a b 2 3 b (2) 分解因式： 2 x

2x 4xy

4y2

4y

(3) 分解因式：

1 mn (1 mn) m3n 3

(1) 解：原式

(a2

b2)

3(a b)

(a b)(a

b) 3( a b)

(a b)(a

b 3)

2 2

(2)解：原式 (x 4xy 4y )

2(x 2y)

(x 2y)2

2(x

2y)

(x 2y)(x 2y 2)

次项和常数项,

(3)解:

原式

1 mn m2n2 m3n3

(1 mn) m n (1 mn) 2 2

(1 mn)(1 m n )

2 2

2.已知：a b c

0,求 a3 a2c abc b2c b3 的值。

解：原式 (a b)(a2

ab b2) c(a2

2 2 2

ab b2

)

(a ab b )(a b c)

2 2

a b c 0

原式 0

说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。

5 3.分解因式：a a 1

5 a a

解: 1

5 2 2

a a a a 1

a2(a3 1) (a2

a 1) a2(a 1)(a2 a 1) (a2

a 1)

(a2

a 1)(a3

a2 1)

4.

已知:

x2 y2 z2 0，A是一个关于x,y,z的一次多项式，且x3 y3 z3 (x y)(x z)A， 试求

A的表达式 解：x2 y2 z2

0

2 y 2 x 2 2 z ， zx

2 2

y

3

3

3

x

y z

/ 3

(x

y )

2 z z

(x y)(x: 2 2、 2

xy y ) z(x y i 2

)

(x y)[x:

2 2

xy y

z(x y)]

(x y)[x( [x z) y(x z) (x2 z2)]

(x y)(x z)(x y x z)

(x y)(x z)(2x y z)

A 2x

y z

5.证明： (a b 2ab)(a

b 2) (1

ab)2

(a 1)2(b

1)2

证明：(a

b 2ab)(a b 2) (1 at 2

))

a2

ab 2a a

ib b2 2b

2a2 b 2ab 2 4ab 1 2ab a2b2

a2

b2

2 2

2a 2b 2a2

b 2ab2 4ab 1 a2b 2

(a2 2ab b2)

(a2b2 2 ab 1)

(2a

2b)

(2a2b 2ab2)

(a b)2 2

(ab

1)2 2(a b)(ab 1)

[(a b) (ab

1)]2

(a ab b 1)2

(a 1) (1 b )

2 2

2 2

(a 1) (b 1)

因式分解?十字相乘法

【知识精读】

对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式

2

x （a b）x ab x a x b进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适

合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

对于二次三项ax2 bx c（ a、b、c都是整数，且a 0）来说，如果存在四个整数a“ G , a2， c2满足a1a2 a，c1c2 c，并且a? a2& b，那么

2 2

二次三项式ax bx c即aia?x aiC2 a?。x C1C2可以分解为

a1x c1 a2x c2。这里要确定四个常数 a1， c1， a2， c2，分析和尝试都要比

首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】

1.在方程、不等式中的应用

例1.已知：x2

11x 24 0，求x的取值范围。

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。

解：

x2

11x 24

0

x 3 x 8

0 x

3 0 或 x

3 0 x 8 0

x 8 0

x 8或 x 3

例2.如果x4 x3 mx2 2mx 2能分解成两个整数系数的二次因式的积， 试

求m的值，并把这个多项式分解因式。

4

2 2

分析：应当把x分成x x，而对于常数项-2，可能分解成 1 2，或者

分解成 2

1，由此分为两种情况进行讨论。

解：（1）设原式分解为 x2 ax 1 x2 bx 2，其中a、b为整数，去括 号，得：

4

x

a b x3 x2 2a b x 2

将它与原式的各项系数进行对比，得：

a b

1， m 1， 2a b 2m 解得:

a

1， b 0，

m

1

此时, 原式 x2 2 x2 x 1

（2

） 设原式分解为

x2 c ;x 2 x dx 1，其中C、d为整数，去括号,

得：

4

x

c d x x

. 3 2

c 2d x 2

将它与原式的各项系数

攵进行对

1

比, 得:

c d

1， m 1，c

2d 2m

解得:

c 0， d

1， m

1

2

此时, 原式

x 2 x2 x 1

2.在几何学中的应用

例.已知：长方形的长、宽为

x、y,周长为16cm，且满足