二元函数

2.1国内外研究现况

2.2国内外研究现状评价

2.3提出问题

3 二元函数的相关定义

3.1极大点

如果二元函数f(x,y)在点p(x0,y0)的邻域G上有定义且任意(a?h,b?k)，

(a?h,b?k)∈G，都有f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0).则称p(x0,y0)是函数f(x,y)的极大点.

3.2极小点

如果二元函数f(x,y)在点p(x0,y0)的邻域G上有定义且任意(x0?h,y0?k)∈G，都有f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0).则称p(x0,y0)是函数f(x,y)的极小点.

3.3极大值

极大点的函数值f(x0,y0)称为极大值.

3.4极小值

极小点的函数值f(x0,y0)称为极小值.

3.5极值点

极大点与极小点统称为极值点.

3.6极值

极大值与极小值统称为极值.

3.7稳定点

如果二元函数f(x,y)在点p(x0,y0)存在两个偏导数且p(x0,y0)是函数f(x,y)的极值点，则有fx?(x0,y0)?0与fy?(x0,y0)?0，则满足方程组

?fx?(x0,y0)?0 ???fy(x0,y0)?0的解称为函数f(x,y)的稳定点.

4 定理及证明

如果二元函数f(x,y)有稳定点p(x0,y0)，且在点p(x0,y0)的邻域G存在二阶连续偏导数.

??(x0,y0) B=fxy??(x0,y0), C=fyy??(x0,y0) ??B2?AC 记 A=fxxD?At2?2Bt?C E?Ah2?2Bk?Ck2

4.1若? ＜ 0，则p(x0,y0)是函数f(x,y)的极值点.

4.1.1

A?0(或C?0), p(x0,y0)是函数f(x,y)的极小点. f(x0,y0)是函数的极小值.

4.1.2

A?0(或C?0), p(x0,y0)是函数f(x,y)的极大点. f(x0,y0)是函数的极大值.

4.2

若 ? ＞0，则p(x0,y0)不是函数f(x,y)的极值点.

4.3

若 ? =0，则p(x0,y0)可能是函数f(x,y)的极值点也可能不是函数的极值点. 4.3.1

A?0,C?0, p(x0,y0)是函数f(x,y)的极小点f(x0,y0)是函数的极小值.

4.3.2

A?0,C?0, p(x0,y0)是函数f(x,y)的极D大点. f(x0,y0)是函数的极大值.

4.3.3

B?0,C?0且A?0时，p(x0,y0)是函数f(x,y)的极小点. f(x0,y0)是函数的极小

值. 4.3.4

B?0,C?0且A?0时，p(x0,y0)是函数f(x,y)的极大点. f(x0,y0)是函数的极大

值. 4.3.5

B?0,A?0且C?0时，p(x0,y0)是函数f(x,y)的极小点. f(x0,y0)是函数的极小

值. 4.3.6

B?0,A?0且C?0时，p(x0,y0)是函数f(x,y)的极大点. f(x0,y0)是函数的极大

值.

4.4证明

已知p(x0,y0)是函数f(x,y)的稳定点，有

?fx?(x0,y0)?0 ???fy(x0,y0)?0当h与k的绝对值充分小时，讨论f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0)的符号，由泰勒公式可得

1??(x0??h,y0??k)h2?2fxy??(x0??h,y0??k)hk?(fxx2

??(x0??h,?y0??k)k2),?0???1?.fyyf(x0?h,y0?k)?f(x0,y0)?又因为f(x,y)的二阶偏导数在p(x0,y0)都连续，所以有

??(x0??h,y0??k)?fxx??(x0,y0)???A?? fxx??(x0??h,y0??k)?fxy??(x0,y0)???B?? fxy??(x0??h,y0??k)?fyy??(x0,y0)???C?? fyy其中当x0和y0都趋近于0时?,?,?的极限的等于0

11所以f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0)?(Ah2?2Bhk?Ck2)?(?h2?2?hk??k2)

22其中?h2?2?hk??k2比h2?k2是高阶无穷小.因此，当h与k的绝对值充分小时，?f的符号由Ah2?2Bhk?Ck2的符号决定.又因为h与k不能同时为0，不妨设k≠0

hh Ah2?2Bhk?Ck2?k2(A()2?2B()?C)

kkh令?t 则f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0)的符号由D?At2?2Bt?C的符号决定.又由一k元二次方程根的判别式可知 4.4.1

D与A和C的符号相同即p(x0,y0)是函数f(x,y)的当??B2?AC＜0，对任意的实数t，

极值点.

证明（1） A?0 (或C?0)，f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0) ＞0恒成立，即 p(x0,y0)是函数f(x,y)的极小点. f(x0,y0)是函数的极小值.由此可知以上定理3.11成立. 证明（2） A?0（或C?0）f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0)＞0恒成立，即 p(x0,y0)是函数f(x,y)的极大点. f(x0,y0)是函数的极大值.由此可知以上定理3.12成立 4.4.2

当??B2?AC＞0,方程D?0有两个不相同的实根t1与t2设t1?t2 D在区间(t1,t2)内与在区间?t1,t2?外有相反的符号，即p(x0,y0)不是函数f(x,y)的极值点.由此可知以上定理3.2成立.

4.4.3 当??B2?AC=0 时

B2B2 因为??B?AC=0， 当A?0时C? (或当C?0时A?)

AC2则E?Ah2?2Bk?Ck2 E?A(h?3.4.3.1

B2Bk) （或E?C(h?k)2 ） AC