高中数学必修一至必修五知识点总结完整版

高中数学必修 1 知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

1. 元素的确定性； 2. 元素的互异性； 3. 元素的无序性

说明： (1) 对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2) 任何一个给定的集合中， 任何两个元素都是不同的对象， 相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3) 集合中的元素是平等的， 没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示： { , } 如 { 我校的篮球队员 } ，{ 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 }

1. 用拉丁字母表示集合： A={我校的篮球队员 },B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 非负整数集（即自然数集）记作： N

正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如： a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 a ∈A ，相反， a 不属于集合 A 记作 a A

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来， 写在大括号内表示集合的 方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例： { 不是直角三角形的三角形 }

②数学式子描述法： 例：不等式 x-3>2 的解集是 {x?R| x-3>2} 或{x| x-3>2} 4、集合的分类：

（ 1）．有限集 含有有限个元素的集合 （ 2）．无限集 含有无限个元素的集合 （ 3）．空集 不含任何元素的集合 例： {x|x2= －5｝ 二、集合间的基本关系 1. “包含”关系—子集

注意： 有两种可能（ 1） A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。反之 : 集合 A 不包含于集合 B, 或集合 B 不包含集合 A, 记作 A B 或 B A

2．“相等”关系 (5 ≥5，且 5≤ 5，则 5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

结论：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元 素，同时 , 集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等 于集合 B，即： A=B

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任何一个集合是它本身的子集。 A A

②真子集 : 如果 A B, 且 B A 那就说集合 A是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A)

③如果 A B,B C,那么A C ④如果A B 同时B A那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 Φ

规定 : 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1．交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合 , 叫做 A,B 的交集．

记作 A∩B(读作” A 交 B”) ，即 A∩ B={x|x ∈A，且 x∈B} ．

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。记作： A∪B(读作” A 并 B”) ，即 A∪ B={x|x ∈ A，或 x∈B}．

3、交集与并集的性质： A∩A = A, A ∩φ = φ, A ∩ B = B∩A，A∪ A = A, A∪φ = A ,A ∪B = B ∪A.

4、全集与补集

（ 1）补集：设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集（即 ），由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）

（ 2）全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。

四、函数的有关概念

1．函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系

f ，

使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f ：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数．记作： y=f(x) ，x ∈ A．其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)| x ∈A } 叫做函数的值域．

注意：如果只给出解析式 y=f(x) ，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

定义域补充

能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1) 分式的分母不等于零； (2) 偶次方根的被开方数不小于零； (3) 对数式的真数必须大于零； (4) 指数、对数式的底必须大于零 且不等于 1. (5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那 么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 . （6）指数为零底不可以等于零 (6) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 .

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( 又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

)

注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的， 所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） （ 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数 的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 ( 两点必须同时具备 ) ( 见课本 21 页相关例 2)

值域补充

(1) 、函数的值域取决于定义域和对应法则， 不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 . (2). 应熟悉掌握一次函数、 二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

3. 函数图象知识归纳

(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A) 中的 x 为横坐标， 函数值 y 为纵坐标的点 P(x ，y) 的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x ∈ A)的图象． 集合 C 上每一点的坐标 (x ，y) 均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 (x ，y) ，均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x ∈A }, 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线 ( 或直线 ), 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

(2) 画法

A、描点法：根据函数解析式和定义域， 求出 x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 . B、图象变换法（请参考必修 4 三角函数）

常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3) 作用：

1、直观的看出函数的性质； 2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。

4．了解区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

5．什么叫做映射

一般地，设 A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则

f ，使对

于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f ： A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“ f ：A→ B ” 给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 a∈A,b ∈ B. 且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合 A、 B 及对应

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法则 f 是确定的； ②对应法则有 “方向性”，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的； ③对于映射 f ：A→B 来说，则应满足：（Ⅰ）集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的； （Ⅱ）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个； （Ⅲ）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点：

1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意 判断一个图形是否是函数图象的依据； 2 解析法：必须注明函数的定义域； 3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数 的特征； 4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值.

（参见课本 P24-25） 补充一：分段函数

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值 时必须把自变量代入相应的表达式。 分段函数的解析式不能写成几个不同的方 程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来， 并分别注明各 部分的自变量的取值情况．（ 1）分段函数是一个函数， 不要把它误认为是几个 函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 补充二：复合函数

如果 y=f(u),(u ∈ M),u=g(x),(x ∈A), 则 y=f[g(x)]=F(x) 的复合函数。 例如 : y=2sinx y=2cos(2x+1)

，(x ∈ A) 称为 f 、g

7．函数单调性 （1）．增函数 设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个 自变量 a，b，当 a

(3). 函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：任取 a，b∈D，且 a

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