当前位置：首页 > 平面向量数量积导学案（3课时）
平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案（1）
学习目标：
1、利用物理中功的概念了解平面向量数量积的物理背景，理解向量的数量积概念及几何 意义；能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角； 2、掌握由定义得到的数量积的5条重要性质，并能运用性质进行相关的判断和运算； 3、了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，培养学生的应用意识.
学习过程 一、课前准备 复习：
1、向量加法和减法运算的两个法则是 和 . 2、向量数乘运算的定义是 . 思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量 能否“相乘”呢？ 二、新课导学
探究1：如下图，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W= ，其中?是 . 思考:这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
F（力）是 量；S（位移）是 量；?是 ；W（功）是 量； 结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？ 新知1：向量的数量积（或内积）的定义
已知两个非零向量a和b，我们把数量abcos?叫做a和b的数量积（或内积），记作a?b，即a?b?abcos?.其中?是a和b的夹角（０≤θ≤π） 说明：①记法“a·b”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“? ”代替。
???? ② 两个非零向量夹角的概念：非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，
?? 则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角（两向量必须是同起点的）
1
???? 特别地：当θ＝０时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向； ?????aa 当θ＝时，与b垂直，记⊥b；
2 ③“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即0?a?0。
探究2：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量；数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关。这个数的符号由cos?的符号所决定 学生讨论，完成下表：
?的范围 0°≤?<90° ?=90° 0°
（1）向量投影的概念：如图，我们把acos?叫做向量a在b方向上的投影；bcos?叫做向量b在a方向上的投影.
说明：如图，OB1?bcos?. 向量投影也是一个数量，不是向量； 当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；
??当当? = 0?时投影为 |b|；当?＝９０?时投影为0；当? = 180?时投影为 ?|b|
作图：
（2）向量的数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影︱b︱cos? 的乘积。
新知3：由定义得到的数量积的结论 设a和b都是非零向量，?是a与b的夹角，则
⑴当a与b垂直时，??90，即a?b?a?b? ；
2
⑵当a与b同向时，??0，a?b= ； 当a与b反向时，??180，a?b= ； ⑶当a?b，即a?a= ，或a? ；
⑷cos? =
a?b
|a||b|
⑸因为cos??1，所以a?b ab. 三、典型例题
例1 已知a?5，b?4，a和b的夹角为120，求a?b？
变式1：若a?b，求a?b.
变式2：若a//b，求a?b.
变式3：已知a?5，b?4，a?b=-10，求a与b的夹角?.
变式4：已知a?5，b?4，a?b=-10，求向量a在向量b的方向上的投影.
例2. 判断下列命题的真假，并说明理由.
⑴在?ABC中，若AB?BC?0，则?ABC是锐角三角形；
⑵?ABC为直角三角形，则AB?BC?0.
特别注意：在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的，范围是０≤θ≤π四、总结提升
1. 向量数量积的定义及几何意义； 2. 由定义推出的数量积的相应结论.
3．在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的，范围是０≤θ≤π
3
五 当堂检测：
1.在平行四边形ABCD中，AB?4，BC?2，?BAD?120，则AB?AD为（ ） A.4 B.-4 C.8 D.-8
2. 设a?12，b?9，a?b??542，则a与b的夹角?为（ ） A.45 B.135 C.60 D.120
3. 已知?ABC，AB?a，AC?b，当a?b?0时，?ABC为（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形
4. 已知平面内三个点A?0,?3?,B?3,3?,C?1,?1?，则向量AB与BC的夹角为（ ） A.0 B.90 C.60 D.180
5. 已知a?3，b?5，且a?b?12，则向量a在向量b的方向上的投影为 . 6. 已知b?3，a在b方向上的投影为
22，则a?b= ； 37. 已知向量a满足a?8，则a? . 六、课后作业
1. 已知a?6,b?4，a与b的夹角为30， 求：⑴a?b；⑵a；⑶b.
2、已知a?12，b?9，a?b=?542，求a与b的夹角?.
3、已知a?6,e为单位向量，当a, e之间夹角分别为45,90,135时，画图表示a在e方向上的投影，并求其值.
4.若四边形ABCD满足AB?CD?0，且AB?BC?0，则四边形ABCD是（ ）. A.平行四边形 B. 矩形 C.菱形 D.正方形 6、在?ABC中，a?5,b?8,C?60，求BC?CA
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