高等数学-上海交通大学出版社-第三版-习题10解答

所属章节：第十章第五节 难度：二级

124．求旋转抛物面z?(x2?y2)被平面z=2所截部分的质心位置，假设其上各点的密度与该

2点到z轴的距离平方成正比．

1解答：由旋转抛物面z?(x2?y2)的对称性，质心位置在z轴，

2%z?Mz2(1255?1)， ?S??222222M7(255?1)k??(x?y)dSk??(x?y)1?x?ydxdySDxyk??z(x?y)dS221k??(x2?y2)21?x2?y2dxdy2Dxy其中Dxy:{(x,y)x2?y2?4}．

所属章节：第十章第五节

难度：二级

25．计算下列曲面积分

(1)??z2dxdy，其中S为平面x?y?z?1位于第一象限部分的上侧；

S(2)???xdydz?ydzdx?zdxdy，其中S为球面x2?y2?z2?R2的外侧；

S32(x?yz)dydz?2xydzdx?zdxdy，其中S为柱面x2?y2?R2(0≤z≤1)的外侧； (3)???S（此题的柱面是否封闭？若是，则答案有误，若不是，则题目中积分符号上的圆圈不对；以下按封闭解答） (4)???xzdydz?x2ydzdx?y2zdxdy，其中S为z?x2?y2,x2?y2?1,x?0,y?0,z?0在第一象限

S中所围立体的表面的外侧； 解答：

(1)??zdxdy???(1?x?y)dxdy??dx?SDxy02211?x0(1?x?y)2dy?1； 12(2)由S的对称性可知，

乙??xdydz?ydzdx?zdxdy?3??zdxdy?6??SSDR2?x2?y2dxdy

?6?d??0S2?R0R2?r2rdr?4?R2；

?322(x?yz)dydz?2xydzdx?zdxdy?(x(3)ò??????1)dxdydz

??d??dr?(r2cos2??1)rdz?0002?R1π4R?πR2； 495

?2222202(4)òxzdydz?xydzdx?yzdxdy?(z?x?y)dxdydz?d?dr(z?r)dz?????????S?001r2?8．

所属章节：第十章第六节 难度：二级

26．利用高斯公式计算下列曲面积分

(1)??x2dydz?y2dzdx?z2dxdy，其中S是由x=0，y=0，z=0,x?y?z?1所围立体表面的外侧；

S(2)???x(y?z)dydz?(x?y)dxdy，其中S为x2?y2?1，z=0及z=3所围立体表面的外侧；

S(3)??xdydz?ydzdx?(x?y?z?1)dxdy，其中S为上半球面z?a2?x2?y2的上侧；

S(4)??(x2?yz)dydz?(y2?zx)dzdx?2zdxdy，其中S为锥面z?1?x2?y2被z=0所截部分的上

S侧．

注：(3)(4)两题积分符号上的圆圈已去掉，由于所涉曲面不封闭。 解答：

1(1)??x2dydz?y2dzdx?z2dxdy????(2x?2y?2z)dxdydz?6???xdxdydz?；

4S??2?139(2)òx(y?z)dydz?(x?y)dxdy?(y?z)dxdydz?d?dr(rsin??z)rdz???； ????????0002S?(3)??xdydz?ydzdx?(x?y?z?1)dxdy

S?ò??xdydz?ydzdx?(x?y?z?1)dxdy???xdydz?ydzdx?(x?y?z?1)dxdy

S?S1S1?3???dxdydz???(1?x?y)dxdy?2?a3??a2，

?Dxy其中S1为平面z?0,x2?y2?a2的下侧； (4)??(x2?yz)dydz?(y2?zx)dzdx?2zdxdy

S2222?ò(x?yz)dydz?(y?zx)dzdx?2zdxdy?(x?yz)dydz?(y?zx)dzdx?2zdxdy????S?S1S1

?2???(x?y?1)dxdydz???0dxdy??Dxy2? 3其中S1为平面z?0,x2?y2?1下侧．

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所属章节：第十章第六节 难度：二级

x222y2z227．利用斯托克斯公式计算曲线积分??(e?xyz)dx?(e?yz)dy?(e?yz)dz，其中L为

L?y2?z2?R2正向圆周?

x?0?解答：

??(eLx?x2y2z2)dx?(ey?y2z)dy?(ez?yz2)dz??222?:?y?z?R?x?0??(y2?z2)dydz?2x2y2zdxdz?2x2yz2dxdy

?Dxy:y2?z2?R2??(y?z)dydz?22?R22．

所属章节：第十章第六节 难度：二级

28．求向量场A穿出所给曲面的通量： (1) A=x3i+y3j+z3k，S为x2+y2+z2=a2；

(2) A=2xi+y2j+z2k，S为柱面x2+y2=a2，z=0，z=h所围立体的全表面 解答：(1) ?????(3x?3y?3z)dxdydz??d??d??3r4sin?dr??0002?ah2222??a125πa； 5(2) ?????(2?2y?2z)dxdydz??d??dr?(2?2rsin??2z)rdr?2πh(1?h)a2．

?000所属章节：第十章第七节 难度：二级

29．求下列向量场的散度div A：

(1) A=x3i+y3j+z3k在点(1，0，–1)处的散度； (2) A=x2yi+xyzj–yz2k在点(1，–1，1)处的散度； (3) A=x2yzi+xy2zj+xyz2k在任一点的散度； (4) A=x2yz3(xzi–y2j+2x2yk)在任一点的散度 解答：(1) divA(2) divAMM?(3x2?3y2?3z2)MM?6；

?(3xy?xz?2yz)?1；

(3)divA?2xyz?2xyz?2xyz?6xyz；

(4)divA?3x2yz4?3x2y2z3?6x4y2z2?3x2yz2(z2?yz?2x2y)． 所属章节：第十章第七节

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难度：二级

30．求向量场A= –yi+xj+Ck(C为常数)沿下列闭曲线C的环量Γ： (1) C：圆周x2+y2=R2，z=0的正向； (2) C：圆周(x–2)2+y2=R2，z=0的正向

解答：(1) ?=??Si??x?yj??yxk??nds???2dxdy?2?R2,其中S圆周x2+y2=R2，z=0的平面； ?zSC (2) ?=??Si??x?yj??yxk??nds???2dxdy?2?R2,其中S圆周(x–2)2+y2=R2，z=0的平面． ?zSC所属章节：第十章第七节 难度：二级

31．求下列向量场A的旋度rot A： (1) A=y2i+z2j+x2k； (2) A=x2i+y2j+z2k； (3) A=xcoszi+ylnxj–z2k； (4) A=3xz2i–yzj+(x+2z)k

i?解答：(1) rot A??xy2i?(2) rot A??xx2i?(3)rot A??xxcoszi?(4)rot A??x3xz2j??yy2j??yz2k???2(zi?xj?yk)； ?zx2k??0 ； ?zz2jk??y??xsinzj?k；

?y?zxylnx?z2j??y?yzk??yi?(6xz?1)k． ?zx?2z所属章节：第十章第七节

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