高等数学-上海交通大学出版社-第三版-习题10解答

第10章 曲线积分与曲面积分

1．计算下列对弧长的曲线积分：

?x?3t(1) ?xsinyds，其中C为?，(0≤t≤1)；

Cy?t??x?acost22(x?y)ds(2)?，其中C为圆周，(0≤t≤2π)； ??C?y?asint?x?a(t?sint)(3)?y2ds，其中C为摆线?的第一拱(0≤t≤2π)；

Cy?a(1?cost)?(4)?yds，其中C为抛物线y2=2x上由点(0，0)到点(2，2)之间的一段弧；

C(5)?(x?y)ds，其中C为以O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)为顶点的三角形的边界；

C(6)?Cx2?y2ds，其中C为圆周x2+y2=ax(a>0)；

?x?tcost?(7)?zds，其中C为圆锥螺线?y?tsint从t =0到t =1的一段；

C?z?t?222?x?y?z?4?2(8)?xds，其中C为圆周?

C??z?3解答：(1)

?Cxsinyds??3tsint3?1dt?310?tsintdt?310(?tcost??costdt)

0 0 0 122 110 1?310(sin1?cos1)；

222223(2)?； (x?y)ds?a(?asint)?(acost)dt?2?a??C02?(3)?yds??a(1?cost)C2t(a?acost)?(asint)dt?16?a3sin5dt

002?2563?32?a3sin5?d??a；

0152?22222?(4)?yds??yC02231221?ydy?(1?y)32201?(55?1)； 3(5)C可以分割为三条直线OA:y?0(0?x?1)，

OB:x?0(0?y?1)，

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BA:y?1?x(0?x?1)

?1100C(x?y)ds=?(x?y)ds+?(x?y)ds+?(x?y)ds

OAOBAB??xdx??ydy??(x?1?x)2dx

01?2?1；

aa?x?cost???2222

(6)C为圆周x+y=ax(a>0)；化为参数方程?，(0≤t≤2π)，

a?y?sint??2?Cx?yds??222?0a2(1?cost)aa2?dt?222

?2?0cos?ttdt?a2?cosdt?2a2；

022(7)?zds??t(cost?tsint)2?(sint?tcost)2?1dt

C03122??t2?tdt?(2?t)03121011?(33?22)； 3?x?cos??(8)C可以表示为参数方程?y?sin?;???0,2??

??z?3?Cx2ds??cos2?sin2??cos2?d???．

02?所属章节：第十章第一节 难度：一级

?x?acost2．已知半圆形状铁丝?(0≤t≤π)其上每一点的线密度等于该点的纵坐标，求此铁丝

y?asint?的质量

解答：m??yds??asint(asint)2?(acost)2dt?2a2

C0?所属章节：第十章第一节

难度：一级

?x?acost?3．已知螺旋线?y?asint(b>0)上各点的线密度等于该点到原点的距离的平方，试求t从0到

?z?bt?

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2π一段弧的质量

2?83222222222222m?(x?y?z)ds?(a?bt)a?bdt?a?b(2πa?πb) 解答：?C?03所属章节：第十章第一节 难度：二级

?x?a(t?sint)4．求摆线?的第一拱(0≤t≤2π)关于Ox轴的转动惯量(设其上各点的密度与该点

y?a(1?cost)?到x轴的距离成正比，比例系数为k) 解答：I??kyds?k?(1?cost)C032?32?72a(1?cost)?asintdt?2ka22223?0(1?cost)dt

102447tsindt?ka ?0235所属章节：第十章第一节 难度：二级

5．计算下列对坐标的曲线积分：

?64ka32??x?acostπ(1)?ydx?xdy，其中C为圆弧?,(0?t?)，依参数t增加方向绕行；

C4?y?asint?x?a(t?sint)(2)?(2a?y)dx?(a?y)dy，其中C为摆线?自原点起的第一拱；

C?y?a(1?cost)(3)?xdy，其中C为x+y=5上由点A(0，5)到点B(5，0)的一直线段；

C222xydx(4)?，其中C为圆周(x?a)?y?a(a?0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个?C边界(按逆时针方向绕行)

解答：(1)?ydx?xdy????asintd(acost)?acostd?asint????aC40??2?40a2cos2tdt?

2(2)?(2a?y)dx?(a?y)dy

C??[(2a?a?acost)d(at?asint)?(a?a?acost)d(a(1?cost))??a2

02?(3)?xdy??xd(5?x)??C0525 2(4)C分成两部分在C1:(x?a)2?y2?a2(a?0)在x轴的上部逆时针方向，C2是从原点指向(2a,0)，则蜒?xydx?Cπ3xydx?xydx?xa?(x?a)dx?x?0dx??a ??C1?C2?2a?020222a所属章节：第十章第二节 难度：一级

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6．计算?(x2?y2)dx?xydy，其中O为坐标原点，点A的坐标为(1，1)：

OA(1) OA为直线段y=x； (2) OA为抛物线段y=x2； (3) OA为y=0，x=1的折线段

1解答：(1)?(x?y)dx?xydy??x2dx?；

OA03221182432??x?xdx?xd(x)(2)?(x2?y2)dx?xydy??????15； OA0?(3)设点B的坐标为(1，0)，则OA分为两段

?OA(x2?y2)dx?xydy??OB??BA??x2dx??ydy?00115． 6所属章节：第十章第二节 难度：一级

7．计算?2xydx?x2dy，其中点A、B的坐标分别为A(0，0)，B(1，1)：

AB(1) AB为直线段y=x； (2) AB为抛物线段y=x2； (3) AB为y=0，x=1的折线段 解答：(1)

?AB2xydx?xdy??(2x2dx?x2dx)?1；

01021 (2)?2xydx?x2dy??[2x3dx?x2d(x2)]?1；

AB (3) 设点C的坐标为(1，0)，则AB分为两段

?AB2xydx?x2dy??AC??CB??0dx??1dy?1．

0011所属章节：第十章第二节 难度：一级

8．计算下列曲线积分：

?x?t?(1)?(y2?z2)dx?2yzdy?x2dy，其中L依参数增加方向绕行的曲线段?y?t2(0≤t≤1)；

L?z?t3?(2)?xdx?ydy?(x?y?1)dz，L为从点A(1，1，1)到点B(2，3，4)的一直线段；

L解答：(1)?(y2?z2)dx?2yzdy?x2dz??(t4?t6?4t6?3t4)dt?L011； 35?x?t?1?(2)此时L写作参数方程?y?2t?1 (0?t?1)

?z?3t?1?

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