52第八章 立体几何与空间向量 8.8 立体几何中的向量方法（二） - 求空间角和距离

题型三 求二面角

例3 (2018·达州模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝2，∠ABC＝60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是菱形，∠CAF＝60°.

(1)求证：BF⊥AE；

(2)求二面角B－EF－D的平面角的正切值．

?所在平面跟踪训练3 (2018·全国Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD?上异于C，D的点． 垂直，M是CD

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值．

利用空间向量求空间角

例 (12分)如图，四棱锥S－ABCD中，△ABD为正三角形，∠BCD＝120°，CB＝CD＝CS＝2，∠BSD＝90°.

(1)求证：AC⊥平面SBD；

(2)若SC⊥BD，求二面角A－SB－C的余弦值．

1．已知两平面的法向量分别为m＝(1，－1，0)，n＝(0，1，－1)，则两平面所成的二面角为( ) A．60° C．60°或120°

B．120° D．90°

2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为( )

A.C.5

55 6

B.D.5 35 4

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( ) 1232A. B. C. D. 2332

4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与B1D所成角的大小为( ) ππππA. B. C. D. 6432

5．(2018·上饶模拟)已知正三棱柱ABC－A1B1C1，AB＝AA1＝2，则异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为( ) 111A．0 B．－ C. D.

442

6．(2019·上海松江、闵行区模拟)如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O－xyz的三条→

坐标轴上，OC＝(0,0,2)，平面ABC的法向量为n＝(2，1，2)，设二面角C－AB－O的大小为θ，则cos θ等于( )

4522A. B. C. D．－ 3333

7．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为________． 8.如图，在正方形ABCD中，EF∥AB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶2，则AF与CE所成角的余弦值为________．

9.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是__________．

10．(2019·福州质检)已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为________．

11．(2018·皖江八校联考)如图，在几何体ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥底面ABC，四边2π形A1ACC1是正方形，B1C1∥BC，Q是A1B的中点，且AC＝BC＝2B1C1，∠ACB＝.

3

(1)证明：B1Q⊥A1C；

(2)求直线AC与平面A1BB1所成角的正弦值．

12．(2019·赣州模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠CDA＝90°，CD＝2AB＝2，AD＝3，PA＝5，PD＝22，点E在棱AD上且AE＝1，点F为棱PD的中点．

(1)证明：平面BEF⊥平面PEC； (2)求二面角A－BF－C的余弦值．