52第八章 立体几何与空间向量 8.8 立体几何中的向量方法（二） - 求空间角和距离

§8.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离

最新考纲 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题． 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 考情考向分析 本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解．题型以解答题为主，要求有较强的数学运算素养，广泛应用函数与方程思想、转化与化归思想.

1．两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

范围 求法

2.直线与平面所成角的求法

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝3．求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小→→θ＝〈AB，CD〉．

|a·n|

. |a||n|

l1与l2所成的角θ a与b的夹角β [0，π] cos β＝a·b |a||b|?0，π? ?2?|a·b|cos θ＝ |a||b|

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小

θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 概念方法微思考

1．利用空间向量如何求线段长度？

2．如何求空间点面之间的距离？

已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离为

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )

ππ

0，?，直线与平面所成角的范围是?0，?，二面角的范围是[0，π]．(4)两异面直线夹角的范围是? ?2??2?( )

(5)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.( ) 题组二 教材改编

2．[P104T2]已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( ) A．45° C．45°或135°

B．135° D．90°

3．[P117A组T4(2)]如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为______．

题组三 易错自纠

4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA

＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( ) 12302A. B. C. D. 105102

15．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则

2l与α所成的角为________．

题型一 求异面直线所成的角

例1 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

跟踪训练1 三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与BN所成角的余弦值为( ) 1374A. B. C. D. 105105题型二 求直线与平面所成的角

例2 (2018·全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.

(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

思维升华 若直线l与平面α的夹角为θ，直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为ππ|l·n|

β，则θ＝－β或θ＝β－，故有sin θ＝|cos β|＝.

22|l||n|

跟踪训练2 (2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．