2017年中考数学备考专题复习 相似与位似（含解析）

∴PB=BK=z，AK=PK= z，∴z+ z=4，∴z=4 ﹣4，∴PB=4 ﹣4故⑤正确．

故答案为①②⑤．

【分析】①正确，只要证明∠APM=90°即可解决问题．

②正确，设PB=x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可． ③错误，设ND=NE=y，在RT△PCN中，利用勾股定理求出y即可解决问题．

④错误，作MG⊥AB于G，因为AM=

=

，所以

AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为3，AM的最小值为5．

⑤正确，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，列出方程即可解决问题．本题考查相似形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题． 【答案】-

【考点】反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例 【解析】【解答】解：设点B坐标为（a，b），则DO=﹣a，BD=b ∵AC⊥x轴，BD⊥x轴 ∴BD∥AC ∵OC=CD

∴CE= BD= b，CD= DO= a

∵四边形BDCE的面积为2

∴ （BD+CE）×CD=2，即 （b+ b）×（﹣ a）=2 ∴ab=﹣

将B（a，b）代入反比例函数y= （k≠0），得 k=ab=﹣

故答案为：﹣

【分析】先设点B坐标为（a，b），根据平行线分线段成比例定理，求得梯形BDCE的上下底边长

与高，再根据四边形BDCE的面积求得ab的值，最后计算k的值．本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解．本题也可以根据△OCE与△ODB相似比为1：2求得△BOD的面积，进而得到k的值． 三、作图题

【答案】解：如图，AD为所作．

【考点】作图—相似变换

【解析】【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似．本题考查了作图﹣相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．解决本题的关键是利用有一组锐角相等的两直角三角形相似． 四、解答题

【答案】解答：∵△ABC∽△ADE ， ∠C=40°， ∴∠AED=∠C=40°． 在△ADE中，

∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，∠A=45° 即40°+∠ADE+45°=180°，

∴∠ADE=95°． 【考点】相似三角形的性质

【解析】【分析】由△ABC∽△ADE ， ∠C=40°，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠AED的度数，又由三角形的内角和等于180°，即可求得∠ADE的度数． 【答案】解答：①若∠AED对应∠B时，

=

，即

=

，

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解得AE= ；

②当∠ADE对应∠B时，

=

，即

=

，

解得AE=2． 所以AE的长为2或

．

【考点】相似三角形的性质

【解析】【分析】由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．【答案】解：画图

△DEF就是所求三角形．

【考点】三角形中位线定理，作图—相似变换 【解析】【分析】作△ABC的中位线MN，再作△DEF≌△AMN即可． 【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1 ， 即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2 ， 即为所求；

（3）△A2B2C2的面积为：4×8﹣×2×4﹣×2×6﹣×2×8=14． 故答案为：14．

【考点】作图-轴对称变换，作图—相似变换

【解析】【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；

（3）利用△A2B2C2所在矩形的面积减去周围三角形面积进而得出答案． 五、综合题 【答案】

（1）解：设PF=m，PE=n，连结EF，如图1，

∵AF，BE是△ABC的中线，

∴EF为△ABC的中位线，AE= b，BF= a， ∴EF∥AB，EF= c， ∴△EFP∽△BPA， ∴

，即 = ，

∴PB=2n，PA=2m，

在Rt△AEP中，∵PE2

+PA2

=AE2

， ∴n2

+4m2

= b2

①，

在Rt△AEP中，∵PF2

+PB2

=BF2

， ∴m2

+4n2

= a2

②，

①+②得5（n2

+m2

）= （a2

+b2

）， 在Rt△EFP中，∵PE2

+PF2

=EF2

，

∴n2+m2=EF2= c2 ， ∴5? c2= （a2+b2）， ∴a2

+b2

=5c2

；

（2）解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC，

∵E，F分别为线段AO，DO的中点， 由（1）的结论得MB2+MC2=5BC2=5×32=45，

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∵AG∥BC， ∴△AEG∽△CEB， ∴ = ，

∴AG=1， 同理可得DH=1， ∴GH=1， ∴GH∥BC， ∴

= ，

∴MB=3GM，MC=3MH， ∴9MG2

+9MH2

=45，

∴MG2+MH2=5．

【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定

【解析】【分析】（1）设PF=m，PE=n，连结EF，如图1，根据三角形中位线性质得EF∥AB，EF= c，则可判断△EFP∽△BPA，利用相似比得到PB=2n，PA=2m，接着根据勾股定理得到n2+4m2= b2 ，m2

+4n2

= a2

， 则5（n2

+m2

）= （a2

+b2

），而n2

+m2

=EF2

= c2

， 所以a2

+b2

=5c2

；（2）利用（1）的结论得MB2

+MC2

=5BC2

=5×32

=45，再利用△AEG∽△CEB可计算出AG=1，同理可得DH=1，则GH=1，然后利用GH∥BC，根据平行线分线段长比例定理得到MB=3GM，MC=3MH，然后等量代换后可得MG2+MH2=5．本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了三角形中位线性质和菱形的性质． 【答案】

（1）解：∵△CBD≌△C′BD， ∴∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2， ∴∠CBC′=30°，

如图1，作C′H⊥BC于H，则C′H=1，HB= ，

∴CH=2﹣

，

∴点C′的坐标为：（2﹣

，1）

（2）解：如图2，∵A（2，0），k=﹣ ，

∴代入直线AF的解析式为：y=﹣ x+b，

∴b=

，

则直线AF的解析式为：y=﹣

x+

，

∴∠OAF=30°，∠BAF=60°，

∵在点D由C到O的运动过程中，BC′扫过的图形是扇形， ∴当D与O重合时，点C′与A重合， 且BC′扫过的图形与△OAF重合部分是弓形， 当C′在直线y=﹣

x+

上时，BC′=BC=AB，

∴△ABC′是等边三角形，这时∠ABC′=60°， ∴重叠部分的面积是：

﹣

×22

= π﹣

（3）解：如图3，设OO′与DE交于点M，则O′M=OM，OO′⊥DE，若△DO′E与△COO′相似，则△COO′必是Rt△，

在点D由C到O的运动过程中，△COO′中显然只能∠CO′O=90°，∴CO′∥DE， ∴CD=OD=1， ∴b=1，

连接BE，由轴对称性可知C′D=CD，BC′=BC=BA， ∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90°， 在Rt△BAE和Rt△BC′E中 ∵

，

∴Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL）， ∴AE=C′E，

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∴DE=DC′+C′E=DC+AE， 设OE=x，则AE=2﹣x， ∴DE=DC+AE=3﹣x，

由勾股定理得：x2

+1=（3﹣x）2

， 解得：x=，

∵D（0，1），E（ ，0）， ∴ k+1=0， 解得：k=﹣ ，

∴存在点D，使△DO′E与△COO′相似，这时k=﹣ ，b=1．

【考点】待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似图形 【解析】【分析】（1）利用翻折变换的性质得出∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，进而得出CH的长，进而得出答案；（2）首先求出直线AF的解析式，进而得出当D与O重合时，点C′与A重合，且BC′扫过的图形与△OAF重合部分是弓形，求出即可；（3）根据题意得出△DO′E与△COO′相似，则△COO′必是Rt△，进而得出Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），再利用勾股定理求出EO的长进而得出答案．

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