2017年中考数学备考专题复习 相似与位似（含解析）

答案解析部分

一、单选题

【答案】D 【考点】比例线段 【解析】【解答】A、1×4≠2×3，故错误； B、1×6.5≠3×4.5，故错误； C、1.1×4.4≠2.2×3.3，故错误； D、1×4=2×2，故正确． 故选D．

【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．依次分析各项即可．

【答案】B 【考点】黄金分割 【解析】【解答】∵AC＞BC， ∴AC是较长的线段，

根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，故A正确，不符合题意； AC2=AB?BC，故B错误，＝

， 故C正确，不符合题意；

≈0.618，故D正确，不符合

题意． 故选B．

【分析】本题主要考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的

倍，较

长的线段=原线段的

倍，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比

例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（)叫做黄金比．

【答案】B

【考点】分式的化简求值，比例线段 【解析】【解答】由已知，得 2（2y﹣z)=y，即y=z，① 5（2y﹣z)=z+2x，即x=5y﹣3z，② 由①②，得 x=z，③

把①③代入（3y﹣z)：（2z﹣x)：（x+3y)，得 （3y﹣z)：（2z﹣x)：（x+3y)=z：z：z=3：5：7． 故选B．

【分析】先根据已知条件，利用z来表示x和y，然后再将其代入所求化简、求值。 【答案】D

【考点】坐标与图形性质，位似变换

【解析】【解答】∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似， ∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，

∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的， ∴位似比为：1：2， ∵点B的坐标为（-4，6)，

∴点B′的坐标是：（-2，3)或（2，-3)． 故选：D．

【分析】由矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC

面积的 ，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为（-4，6)，即可求得答案． 【答案】A

【考点】比例的性质，一次函数的性质，平方的非负性，二次根式的非负性 【解析】【解答】

+n2

+9=6n，

=﹣（n﹣3)2 ， ∴m=5，n=3，

∵k=

∴a+b﹣c=ck，a﹣b+c=bk，﹣a+b+c=ak，

相加得：a+b+c=（a+b+c)k， 当a+b+c=0时，k为任何数， 当a+b+c≠0时，k=1， 即：y=kx+8或y=x+8， 所以图象一定经过一二象限． 故选A． 【分析】首先由+n2+9=6n，根据二次根式和完全平方式确定m n的值，再由

k=

，利用比例的性质确定K的值，根据函数的图象特点即可判断出选项．【答案】D 【考点】黄金分割

【解析】【解答】由题意可得△ABC为黄金三角形，根据黄金比即可得到x的值，再代入求值即可.

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∵AB=AC=1，∠A=36° ∴△ABC为黄金三角形 ∴BC= ∴=

=

故选D.

【分析】解题的关键是熟记顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形，黄金比为

【答案】B 【考点】黄金分割

【解析】【解答】根据黄金分割的概念知，AC：AB=，

∴AC=

AB．

故本题答案为：B．

【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段

分割叫做黄金分割，他们的比值（)叫做黄金比．

【答案】A

【考点】平行线分线段成比例 【解析】【解答】∵AD：DB=3：5， ∴BD：AB=5：8， ∵DE∥BC ，

∴CE：AC=BD：AB=5：8， ∵EF∥AB ，

∴CF：CB=CE：AC=5：8． 故选：A．

【分析】先由AD：DB=3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC ， 根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC=BD：AB ， 然后由EF∥AB ， 根据平行线分线段成比例定理，得CF：CB=CE：AC ， 则可求得答案．注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键． 【答案】B

【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】设△DEF最短的一边是x ，

∵△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的△DEF最长的一边是36，

∴ = ，

解得：x=18． 故选B ．

【分析】设△DEF最短的一边是x ， 由相似三角形的性质得到 =

，即可求出x ， 得到

△DEF最短的边．

【答案】A

【考点】相似三角形的性质

【解析】【解答】从图中可以看出△ABC的三边分别是2，

，

，

要让△ABC的相似三角形最大，就要让DF为网格最大的对角线，即是 ，

所以这两，相似三角形的相似比是 :

=

:5

△ABC的面积为2×1÷2=1，

所以△DEF的最大面积是5．故选A ．

【分析】要让△ABC的相似三角形最大，就要让AC为网格最大的对角线，据此可根据相似三角形的性质解答．

【答案】D

【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：

∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠B=30°， ∴

，

∵CE平分∠ACB交⊙O于E， ∴ ，

∴AD=

AB，BD=

AB，

过C作CE⊥AB于E，连接OE， ∵CE平分∠ACB交⊙O于E，

6

∴ = ，

∴OE⊥AB， ∴OE= AB，CE=

AB，

∴S△ADE：S△CDB=（ AD?OE）：（ BD?CE）=（

）：（

）

=2：3． 故选D．

【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到 ，根据三角形的角

平分线定理得到

，求出AD=

AB，BD=

AB，过C作CE⊥AB于E，连

接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE= AB，CE=

AB，根据三角形的面

积公式即可得到结论．本题考查了圆周角定理，三角形的角平分线定理，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【答案】D

【考点】矩形的性质，平行线分线段成比例 【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB∥CD， ∵AP：PD=4：1，AQ：QE=4：1， ∴

，

∴PQ∥CD， ∴

=4，

∵平行线间的距离相等， ∴q=r， ∵

=4，∴

= ，

∵AE＜AC， ∴QE＜CR． 故选D．

【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，根据已知条件得到

，根据平行线分线段成比例定

理得到PQ∥CD，

=4，根据平行线间的距离相等，得到q=r，证得

= ，于是得

到结论．本题考查了平行线分线段成比例定理，矩形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 二、填空题

【答案】2：1

【考点】相似三角形的性质

【解析】【解答】∵△ABC∽△DEF ， ∠A=∠D ， ∠C=∠F ， ∴

＝

＝

，

∵AB：DE=1：2， ∴EF：BC=2：1， 故答案为2：1．

【分析】利用相似三角形的对应边的比相等可以求得两条线段的比． 【答案】10

【考点】等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的应用 【解析】【解答】过点A作AD⊥BC于点D ， ∵△ABC中，∠A= ，AB=AC ， BC=63cm， ∴AD=BD=

BC=

×63=

cm．

设这张正方形纸条是从下往上数第n张， ∵则BnCn∥BC ， ∴△ABnCn∽△ABC ， ∴

，即

，

解得n=10． 故答案为：10．

7

【分析】先求出△ABC的高，再根据截取正方形以后所剩下的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边上的高的比等于相似比进行求解．解答此类题熟练掌握相似三角形性质：相似三角形周长的比等于相似比；

相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 【答案】（1，

）

【考点】坐标与图形性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（8，0），（0，2

） ∴BO=

，AO=8,由CD⊥BO，

C是AB的中点，可得BD=DO= BO= =PE，CD= AO=4

设DP=a，则CP=4﹣a

当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，∠FCP=∠DBP 又∵EP⊥CP，PD⊥BD ∴∠EPC=∠PDB=90° ∴△EPC∽△PDB ∴

，即

解得a1=1，a2=3（舍去） ∴DP=1 又∵PE=

∴P（1，

）

故答案为：（1，

）．

【分析】先根据题意求得CD和PE的长，再判定△EPC∽△PDB，列出相关的比例式，求得DP的长，最后根据PE、DP的长得到点P的坐标．本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．

【答案】①②⑤

【考点】全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定 【解析】【解答】解：∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN， ∵∠CPN+∠NPB=180°， ∴2∠NPM+2∠APE=180°，

∴∠MPN+∠APE=90°， ∴∠APM=90°，

∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°， ∴∠CPM=∠PAB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°， ∴△CMP∽△BPA．故①正确， 设PB=x，则CP=4﹣x， ∵△CMP∽△BPA，

∴

=

，∴CM= x（4﹣x），∴S四边形AMCB= [4+ x（4﹣x）]×4=﹣ x2+2x+8=﹣ （x

﹣2）2+10，

∴x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确， 当PB=PC=PE=2时，设ND=NE=y，

在RT△PCN中，（y+2）2

=（4﹣y）2

+22

解得y= ， ∴NE≠EP，故③错误， 作MG⊥AB于G， ∵AM=

=

，

∴AG最小时AM最小，

∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣ x（4﹣x）= （x﹣1）2+3， ∴x=1时，AG最小值=3， ∴AM的最小值= =5，故④错误．

∵△ABP≌△ADN时，

∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z， ∴∠KPA=∠KAP=22.5° ∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°， ∴∠BPK=∠BKP=45°，

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