(完整word版)最新高考文科数学导数全国卷(2012-2018年)

2018全国卷)（12分）

已知函数⑴讨论

的单调性；

．

⑵若存在两个极值点，，证明：．

导数高考题专练（答案）

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2解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4. 故b＝4，a＋b＝8. 从而a＝4，b＝4.

(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，

1??f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·?ex??.

2??令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.

从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0； 当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．

当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．

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4 (I)f'?x???x?1?ex?2a?x?1???x?1??ex?2a?.

(i)设a?0，则当x????,1?时，f'?x??0；当x??1,???时，f'?x??0. 所以在???,1?单调递减，在?1,???单调递增. (ii)设a?0，由f'?x??0得x=1或x=ln(-2a). ①若a??ex，则f'?x???x?1??e?e?，所以f?x?在???,???单调递增. 2e，则ln(-2a)<1,故当x????,ln??2a??U?1,???时，f'?x??0； 2②若a??当x?ln??2a?,1时，f'?x??0，所以f?x?在??,ln??2a?,?1,???单调递增，在ln??2a?,1单调递减. ③若a????????e，则ln??2a??1，故当x????,1?U?ln??2a?,???时，f'?x??0，2当x?1,ln??2a?时，f'?x??0，所以f?x?在???,1?,ln??2a?,??单调递增，在1,ln??2a?单调递减.

??????(II)(i)设a?0，则由(I)知，f?x?在???,1?单调递减，在?1,???单调递增. 又f?1???e，f?2??a，取b满足b<0且

ba?ln， 22则f?b??a3?23b?b??0，所以f?x?有两个零点. ?b?2??a?b?1??a??22??x(ii)设a=0，则f?x???x?2?e所以f?x?有一个零点. (iii)设a<0，若a??e，则由(I)知，f?x?在?1,???单调递增. 2e，则由(I)知，f?x?在2又当x?1时，f?x?<0，故f?x?不存在两个零点；若a???1,ln??2a??单调递减，在?ln??2a?,???单调递增.又当x?1时f?x?<0，故f?x?不存在两个零点.

综上，a的取值范围为?0,???.

5试题解析：（I）f(x)的定义域为(0,??).当a?4时，

f(x)?(x?1)lnx?4(x?1),f?(x)?lnx?在(1,f(1))处的切线方程为2x?y?2?0. （II）当x?(1,??)时，f(x)?0等价于lnx?令g(x)?lnx?1?3，f?(1)??2,f(1)?0.曲线y?f(x)xa(x?1)?0. x?1a(x?1)，则 x?112ax2?2(1?a)x?1g?(x)???,g(1)?0，

x(x?1)2x(x?1)2（i）当a?2，x?(1,??)时，x?2(1?a)x?1?x?2x?1?0，故g?(x)?0,g(x)在

22x?(1,??)上单调递增，因此g(x)?0；

（ii）当a?2时，令g?(x)?0得

x1?a?1?(a?1)2?1,x2?a?1?(a?1)2?1，

由x2?1和x1x2?1得x1?1，故当x?(1,x2)时，g?(x)?0，g(x)在x?(1,x2)单调递减，