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知识点及例题
知识点一:勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为:a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.
要点诠释:(1)勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
(2)勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角。 (3)理解勾股定理的一些变式: c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 , c2=(a+b)2-2ab 知识点二:用面积证明勾股定理
方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形。 图(1)中
,所以
。
方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形。 图(2)中
,所以
。
方法三:将四个全等的直角三角形分别拼成如图(3)—1和(3)—2所示的两个形状相同的正方形。
在(3)—1中,甲的面积=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积),
在(3)—2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)—(4个直角三角形面积),
所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:. 方法四:如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。
,所以1 / 11
。
知识点三:勾股定理的作用
1.已知直角三角形的两条边长求第三边; 2.已知直角三角形的一条边,求另两边的关系;
3.用于证明平方关系的问题; 4.利用勾股定理,作出长为的线段。 2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数
满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数,对解题是会有帮助的:
①3、4、5②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤10、24、26;⑥9、40、41.
如果(a,b,c)是勾股数,当t>0时,以at,bt,ct为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形。 经典例题透析 类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90°
(1)已知a=6, c=10,求b, (2)已知a=40,b=9,求c; (3)已知c=25,b=15,求a.
思路点拨: 写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 解析:(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b= (2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=
(3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=
总结升华:有一些题目的图形较复杂,但中心思想还是化为直角三角形来解决。如:不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差或和。
举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2-CD2 =132-122 =25 ∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2-BC2 =52-32 =16 ∴AB= 4
∴AB的长是4.
类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在
中,
,
,
. 求:BC的长.
思路点拨:由条件
,
长.
解析:作 ∴
于D,则因
(
,
的两个锐角互余)
2 / 11
,想到构造含
角的直角三角形,为此作
于D,则有
,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的
∴(在中,如果一个锐角等于 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 根据勾股定理,在
根据勾股定理,在
中,
.
中,
.
,
∴ .
总结升华:利用勾股定理计算线段的长,是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时,也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.
举一反三【变式1】如图,已知:
,
,
于P. 求证:
.
思路点拨: 图中已有两个直角三角形,但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此,我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样,实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系. 解析:连结BM,根据勾股定理,在
.
而在
中,则根据勾股定理有
.
∴又∵ ∴
在
(已知),
.
中,根据勾股定理有
,
中,
∴.
【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。
分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析:延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8,CE=2CD=4, ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE= ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE=
==
。 。 3 / 11
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-
类型三:勾股定理的实际应用
(一)用勾股定理求两点之间的距离问题
CD·DE=
3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 (1)求A、C两点之间的距离。
(2)确定目的地C在营地A的什么方向。
到达B点,然后再
思路点拨:把实际问题中的角度转化为图形中的角度,利用勾股定理求解。 解析:(1)过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180° ∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得:BC=500m,AB= 由勾股定理可得:
所以 (2)在Rt△ABC中,
∵BC=500m,AC=1000m ∴∠CAB=30° ∵∠DAB=60° ∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
总结升华:本题是一道实际问题,从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB, 与地面交于H. 解:OC=1米 (大门宽度一半), OD=0.8米 (卡车宽度一半)
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