勾股定理知识点总结经典例题

知识点及例题

知识点一：勾股定理

如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．

要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。

（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。 （3）理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2 ， c2=(a+b)2-2ab 知识点二：用面积证明勾股定理

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 图（1）中

，所以

。

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 图（2）中

，所以

。

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,

在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,

所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：. 方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

，所以1 / 11

。

知识点三：勾股定理的作用

1．已知直角三角形的两条边长求第三边； 2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；

3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理，作出长为的线段。 2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数

满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。

熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：

①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．

如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。 经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.

思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=

(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=

总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。

举一反三

【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5

又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4

∴AB的长是4.

类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在

中，

，

，

. 求：BC的长.

思路点拨：由条件

，

长.

解析：作 ∴

于D，则因

（

，

的两个锐角互余）

2 / 11

，想到构造含

角的直角三角形，为此作

于D，则有

，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的

∴（在中，如果一个锐角等于 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在

根据勾股定理，在

中，

.

中，

.

，

∴ .

总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.

举一反三【变式1】如图，已知：

，

，

于P. 求证：

.

思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系. 解析：连结BM，根据勾股定理，在

.

而在

中，则根据勾股定理有

.

∴又∵ ∴

在

（已知），

.

中，根据勾股定理有

，

中，

∴.

【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。

∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE=

==

。 。 3 / 11

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-

类型三：勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

CD·DE=

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

到达B点，然后再

思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。 解析：（1）过B点作BE//AD

∴∠DAB=∠ABE=60°

∵30°+∠CBA+∠ABE=180° ∴∠CBA=90°

即△ABC为直角三角形

由已知可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得：

所以 （2）在Rt△ABC中，

∵BC=500m，AC=1000m ∴∠CAB=30° ∵∠DAB=60° ∴∠DAC=30°

即点C在点A的北偏东30°的方向

总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。

举一反三

【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H． 解：OC＝1米 (大门宽度一半)， OD＝0.8米 （卡车宽度一半）

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