高数同济第六版下高等数学2第八章解答

8.求过点??3,2,5?且与两个平面2x?y?5z?1和x?4z?3的交线平行的直线的方程。解 方法一 先求过点??3,2,5?且与已知平面平行的平面

?1:2?x?3???y?2??5?z?5??0,?2:?x?3??4?z?5??0

即

?1:2x?y?5z?33?0,?2:x?4z?23?0

所求直线的一般方程为?2x?y?5z?33?0??x?4z?23?0

方法二 所求直线的方向向量为两平面的法向量的向量积

n1??2,?1,?5?,n2??1,0,?4?

ijk故n1?n2?2?1?5?4i?3j?k 10?4又直线过点??3,2,5?，故所求直线方程为

x?34?y?2z?53?1 复习题八

1.设|a|?3，|b|?1，(?a,b)??6，求向量a?b与a?b的夹角。

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2.设一平面垂直于平面z?0，并通过从点(1,?1,1)到直线?的方程。

?y?z?1?0的垂线，求此平面

?x?0

?z?2?x2?y23.求曲线?在三个坐标面上的投影曲线的方程。 22?z?(x?1)?(y?1) 10

?x??t?2?4.求过点M?1,2,?1?且与直线L:?y?3t?4垂直的平面方程。

?z?t?1?解 因所求平面过定点M且与直线L垂直，所以L的方向向量与平面的法向量平行，将直线L的参数方程改写为标准方程：

L:x?2y?4z?1?? ?131L的方向向量为??1,3,1?，故所求平面方程为

?1?x?1??3?y?2???z?1??0?x?3y?z?4?0

5.已知直线L1:方程。

解 L1的方向向量：v1?(1,2,1)，L2的方向向量：v2?(2,1,1)。取所求平面的法向量：

x?2y?1zx?1y?2z?3??，求经过L1且平行L2的平面??和L2:211121???e1???n?v1?v2?12?e221?e31?(1,1,?3) 1其方程为：(x?1)?(y?2)?3(z?3)?0，

整理得 x?y?3z?6?0。

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