当前位置：首页 > 2020届福建省厦门市高中毕业班线上质量检查数学(文)试题(解析版)
∴h(x)max?h(2)??3?4ln2?0，∴f?x2??3x2?0，即【点睛】
f?x2???3. x2本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的极值，还考查了数形结合、转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为??x?2?2cos?,（?为参数）.
?y?2sin?以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为
??4sin?.
（1）写出C1的极坐标方程；
（2）设点M的极坐标为(4,0)，射线????0????????分别交C1，C2于A，B两4?点（异于极点），当?AMB??4时，求tan?.
【答案】（1）??4cos?（2）tan??221 2【解析】（1）利用sin??cos??1，消去C1的参数将C1的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转换公式，转化为极坐标方程.
（2）将射线???分别于C1,C2的极坐标方程联立，求得A,B两点对应的?1,?2，由此求得AB的表达式，求得AM的表达式，根据|AB|?|AM|列方程，由此求得tan?的值. 【详解】 （1）∵??x?2?2cos?,（?为参数）
?y?2sin?∴曲线C1的普通方程为(x?2)2?y2?4，即x2?y2?4x?0 ∵x??cos?，y??sin?，∴?2?4?cos??0 ∴曲线C1的极坐标方程为??4cos? （2）依题意设A??1,??，B??2,??，
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∴由???????????4cos?.得1由?得?2?4sin?.
???4cos????4sin?∵0????4，∴?1??2.
∴|AB|?|OA|?|OB|??1??2?4cos??4sin?. ∵OM是圆C1的直径，∴?OAM??2.
∴在直角Rt?OAM中，|AM|?4sin? ∵在直角Rt?BAM中，?AMB??4
∴|AB|?|AM|，即4cos??4sin??4sin? ∴4cos??8sin?，即tan??1. 2
【点睛】
本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想.
23．设函数f(x)?2sinx?|a?3|?|a?1|. （1）若f??????6，求实数a的取值范围； ?2?1?1恒成立. a（2）证明：?x?R，f(x)?|a?3|?【答案】（1）???,0?U?4,???（2）证明见解析 【解析】（1）将不等式f?等式的解集.
（2）将要证明的不等式转化为证?x?R，2sinx??|a?1|??????6化为|a?3|?|a?1|?4，利用零点分段法，求得不?2?1?1恒成立，由2sinxa第 22 页 共 23 页
的最小值为?2，得到只要证?2??|a?1|?对值不等式和基本不等式，证得上式成立. 【详解】
11?1，即证|a?1|??1?2，利用绝aa???f（1）∵???6，∴2?|a?3|?|a?1|?6，即|a?3|?|a?1|?4 ?2?当a?3时，不等式化为??a?3?a?1?4，∴a?4
a?3??(3?a)?(a?1)?4当1?a?3时，不等式化为?，此时a无解
?1?a?3当a?1时，不等式化为??(3?a)?(1?a)?4，∴a?0
?a?1综上，原不等式的解集为???,0?U?4,??? （2）要证?x?R，f(x)?|a?3|?1?1恒成立 a即证?x?R，2sinx??|a?1|?1?1恒成立 a11?1，即证|a?1|??1?2 aa∵2sinx的最小值为－2，∴只需证?2??|a?1|?又|a?1|?11111?1?a?1??1?a??|a|??2|a|??2 aaaaa1?1?2成立，∴原题得证 a∴|a?1|?【点睛】
本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.
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