高等数学基本公式、概念和方法

高等数学基本公式、概念和方法

一．函数

1．函数定义域由以下几点确定

（１）y?1;f(x)?0 f(x)2n（２）y?f(x);f(x)?0（其中n为正整数）

（３）y?logaf(x):f(x)?0。 （４）

y?arcsinf(x);?1?f(x)?1y?arccosf(x);?1?f(x)?1

（５）函数代数和的定义域，取其定义域的交集．

（６）对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定．

2．判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的．

（１） 若f(?x)?f(x),f(x)是偶函数，若f(?x)??f(x),f(x)是奇函数． （２） 若y?f(x)的图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．如y?x..y?cosx等。

若y?f(x)的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数．如y?x..y?x..y?sinx

３． 将函数分解成几个简单函数的合成．

由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关系．函数与常数的四则运算，不必另设一层关系．

二．极限与连续

1．主要概念和计算方法：

（１）．limf(x)?A?lim?f(x)?lim?f(x)?A（必考）

x?x0x?xx?x32（２）．若limf(x)?0（极限过程不限），则当x?x0时f(x)为无穷小量。（必考）

x?x0（3）．若limf(x)?f(x0)，则函数在x0处是连续的。（必考）

x?x0即（１）函数值存在、（２）极限存在、（３）极限值和函数值相等。 若上述三条至少一条不满足，则x0是函数的间段点。 （4）．间断点的分类：设x0是函数的间断点

若左、右极限均存在，则x0称为第一类间断点。（要知道分类）

若左、右极限至少有一个是无穷大，则x0称为第二类间断点。（了解即可） （5）．重要公式：条件lim?(x)?0（极限过程不限）（必考）

sin?(x)?1；结论《１》lim《２》lim[1??(x)]?(x)?e ?(x)1*常用等价无穷小公式：(当x

1、 x

)（必考）

2、

3、 1

4、

5、

6、

7、

8、

*重要极限： *公式：

2．求极限的方法：先判断极限类型（依据基本初等函数图象和函数值）

（１） 定式：直接得结论（即常数Ｃ、不存在：无穷大、震荡、左极限不等于右极限）。

（２）

不定式：（Ａ）

0型：消去零因子或用公式《１》。 0?（Ｂ）型：约去?因子，使之变成定式。

?（Ｃ）1?型：用公式《２》。

（Ｄ）0??型：取简单的翻到分母上，转化成《Ａ》或《Ｂ》。 （Ｅ）???型：通分或有理化，使之转化成其它类型。

注：《Ａ》和《Ｂ》型也可以用第四章中“罗必达”法则求。但要满足条件。

三．导数（必考） （一）基本概念

1．导数值：f?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)dy，也可以记作y?(x0);x?x0dxx?x0。 2．导数的几何意义：f?(x0)就是曲线y?f(x)在点(x0,y0)处切线的斜率k，其切线的方程是：

y?y0?f?(x0)(x?x0)，法线方程：y?y0??1(x?x0)。 f?(x0)３． 函数在一点处可导、连续、有极限、有定义的关系（见关系图）。 （二）．导数基本公式：（必考） 1．(c)??0 2。(x)???x???1xxxx 3。(a)??alna 4。(e)??e 5。(lnx)??1 x26．(sinx)??cosx 7。(cosx)???sinx 8。(tanx)??secx 9。(cotx)???cscx 10．(arcsinx)??211?x2 11。(arccosx)???11?x2 12。(arctanx)??1 21?x13．(arccotx)???1 1?x2（三）微分法（设u和v 都是x的函数） 1．用定义求导数或导函数。 2．(u?v)??u??v? 3．(uv)??u?v?uv?；(cu)??cu? 4．()??uvu?v?uv? 2v5．设复合函数y?f(u),u??(x)，则y??fu?ux 6．设y?f(x)由隐函数F(x.y)?0确定，则y????FX，也可以直接对方程求导数。 Fy?7．对于单项式可以用取对数法求导数。对于幂指函数必须用取对数法求导数。 y?(t)?x?x(t)8．设参数方程?，则y??t ?y?y(t)x(t)?t9．微分：dy?y?dx 10．反函数的导数：y?x?1 x?y附：函数在一点处几个概念之间的关系图 有定义（函数值存在）

连续（极限值等于函数值）

可导（可微）

四．中值定理与导数应用 1．拉格朗日中值定理：

条件：函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导 结论：至少存在一点??(a,b)使f?(?)?有极限 f(b)?f(a)。

b?a罗比达法则 (a’、b’是a、b的导数)（必考！）

无穷小量等价替换和罗比达法则只能在乘法中用，其中罗比达法则只有当因式极限为零或者无穷的时候用

罗比达法则未定型式的变换：（变成或者的形式）