2019届高考二轮复习之大题精做9 圆锥曲线：存在性问题（文）（学生版）

大题精做九 圆锥曲线：存在性问题 精选大题 x2y2[2019·株洲一模]已知F1，F2分别为椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左、右焦点，点P?1,y0?在椭圆上，

ab且PF2?x轴，△PF1F2的周长为6． （1）求椭圆的标准方程；

（2）过点T?0,1?的直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数?，使得OA?OB??TA?TB??7恒成立？请说明理由．

x2y2【答案】（1）?（2）当??2时，OA?OB??TA?TB??7． ?1；

43【解析】（1）由题意，F1??1,0?，F2?1,0?，c?1， ∵△PF1F2的周长为6，∴PF1?PF2?2c?2a?2c?6，

x2y2∴a?2，b?3，∴椭圆的标准方程为??1．

43（2）假设存在常数?满足条件．

①当过点T的直线AB的斜率不存在时，A0,3，B0,?3， ∴OA?OB??TA?TB??3?????????3?1?3?1???3?2???7，

????∴当??2时，OA?OB??TA?TB??7；

②当过点T的直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y?kx?1，设A?x1,y1?，B?x2,y2?， ?x2y2?1?? ，化简得3?4k2x2?8kx?8?0， 联立?43?y?kx?1???∴x1?x2??8k8，． xx??12224k?34k?3∴OA?OB??TA?TB?x1x2?y1y2????x1x2??y1?1??y2?1???

??1????1?k2?x1x2?k?x1?x2??1

??8?1????1?k2?4k2?3??8??8k2????2?k?1?????1??7， ?2?1?24k?34k?32

∴

??21??4?3?1，解得??2，即??2时，OA?OB??TA?TB??7；

综上所述，当??2时，OA?OB??TA?TB??7．

模拟精做 y2x211．[2019·宜昌调研]已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的离心率为，短轴长为23．

2ab（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点A?0,4?的直线l与椭圆C交于M、N两点，F是椭圆C的上焦点．

问：是否存在直线l，使得S△MAF?S△MNF？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

2．[2019·江西联考]已知点F为抛物线C:y2?2px?p?0?的焦点，抛物线C上的点A满足AF?AO(O为坐标原点)，且AF?3． 2 （1）求抛物线C的方程；

（2）若直线l:x?my?t与抛物线C交于不同的两点M，N，是否存在实数t及定点P，对任意实数m， 都有PM?PN？若存在，求出t的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3．[2019·广州一模]已知动圆C过定点F?1,0?，且与定直线x??1相切． （1）求动圆圆心C的轨迹E的方程；

（2）过点M??2,0?的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q，试探究在x轴上是否存在定点N点M），使得?QNM??PNM?π？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由．

（异于

答案与解析 y2x21．【答案】（1）（2）存在直线l:6x?5y?45?0或6x?5y?45?0． ??1；

43c1

【解析】（1）∵?，b?3，且有a2?b2?c2，解得a2?4，b2?3，

a2y2x2∴椭圆C的方程为??1．

43（2）由题可知l的斜率一定存在，设l为y?kx?4，设M?x1,y1?，N?x2,y2?， ?y?kx?4? ??3k2?4?x2?24kx?36?0， 联立?y2x2?1??43? ?22?Δ??24k??144?3k?4??0①?24k?∴?x1?x2??2② ，

3k?4??36x1x2?2③?3k?4?∵S△MAF?S△MNF，∴M为线段AN的中点，∴x2?2x1……④， 将④代入②解得x1??将④代入③得x12?8k……⑤

3k2?418……⑥

3k2?436……⑦ 5将⑤代入⑥解得k2?将⑦式代入①式检验成立， ∴k??65，即存在直线l:6x?5y?45?0或6x?5y?45?0合题意．

2．【答案】（1）y2?4x；（2）存在t?4及点P?0,0?，对任意实数m，都有PM?PN． 【解析】（1）由AF?AO得点A横坐标为由抛物线定义及AF?p， 43pp3得，??，所以p?2， 2422所以抛物线C的方程为y2?4x．

（2）假设存在实数t及定点P，对任意实数m，都有PM?PN， ?y12??y22?,y1?，N?,y2?， 设P?x0,y0?，M??4??4??y2?4x联立? ，得y2?4my?4t?0，

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