高三数学一轮复习教案全套练习及详细解析1

Page 17 of 123 高中高三第一轮复习练习试题

－2x＋1－2t－2t＋1－22tk＋1

法二：由(1)知f(x)＝x＋1，又由题设条件得t22t＋1＋2－＋<0 2＋22－＋222tk1＋2即(22tk1＋2)(－2t2t＋1)＋(2t2t1＋2)(－22tk＋1)<0

2－－

整理得23t2tk>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0

＋

＋

22－

2－2－2－2－

1

上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.

3

B组

1．如果函数f(x)＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．

①00 ②01且b<0 ④a>1且b>0

解析：当0

－

2．(2010年保定模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．

解析：f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，所以f(x)在[a，＋∞)上为减函数，又f(x)，g(x)都在[1,2]上为减

?a≤1?

函数，所以需??0

??a＋1>1

f(1)

3．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件①f (x)＝ax·g(x)(a>0，a≠1)；②g(x)≠0；若g(1)

f(－1)5＋＝，则a等于________． g(－1)2

f(x)f(1)f(－1)5511－

解析：由f(x)＝ax·g(x)得＝ax，所以＋＝?a＋a1＝，解得a＝2或.答案：2或

g(x)g(1)g(－1)2222

－－1

4．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，其反函数为f1(x)．若f(2)＝9，则f1()＋f(1)

3

的值是________．

1

解析：因为f(2)＝a2＝9，且a>0，∴a＝3，则f(x)＝3x＝，∴x＝－1，

3

－1－1

故f1()＝－1.又f(1)＝3，所以f1()＋f(1)＝2.答案：2

33

1

5．(2010年山东青岛质检)已知f(x)＝()x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则

3g(x)的表达式为________．

1

解析：设y＝g(x)上任意一点P(x，y)，P(x，y)关于x＝1的对称点P′(2－x，y)在f(x)＝()x上，∴y＝

31－－－

()2x＝3x2.答案：y＝3x2(x∈R) 3

ex＋ex

6．(2009年高考山东卷改编)函数y＝x－x的图象大致为________．

e－e

－

－ x

e＋ee＋e

解析：∵f(－x)＝－xx＝－x－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除④.

e－ee－e－

ex＋exe2x＋1e2x－1＋22

又∵y＝x－x＝2x＝2x＝1＋2x在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答

e－ee－1e－1e－1

－x

xx

案：①

17

17．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝()x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋

2log23)＝________.

解析：∵2<3<4＝22，∴1

1111－

＝f(3＋log23)＝f(log224)＝()log224＝2log224＝2log2＝.答案：

2242424

8．(2009年高考湖南卷改编)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)

?f(x)，f(x)≤K，?1－＝?取函数f(x)＝2|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为________．

2??K， f(x)>K.

2，x≥1或x≤－1，??1－

解析：由f(x)＝2|x|≤得x≥1或x≤－1，∴fK(x)＝?1

2，－1

则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]

9．函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,16]，当a变动时，函数b＝g(a)的图象可以是________．

－|x|

解析：函数y＝2|x|的图象如图． 当a＝－4时，0≤b≤4，

当b＝4时，－4≤a≤0，答案：②

10．(2010年宁夏银川模拟)已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1,1]上的最大值为14，求实数a的值． 解：f(x)＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，∵x∈[－1,1]，

11

(1)当0

aa

111∴(＋1)2－2＝14，∴＝3，∴a＝. aa3

1

(2)当a>1时，≤ax≤a，∴当ax＝a时，f(x)取得最大值．

a

1

∴(a＋1)2－2＝14，∴a＝3.综上可知，实数a的值为或3.

3

－2

11．已知函数f(x)＝x－a.(1)求证：f(x)的图象关于点M(a，－1)对称；

2＋1

(2)若f(x)≥－2x在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围．

2

解：(1)证明：设f(x)的图象C上任一点为P(x，y)，则y＝－x－a，

2＋1

P(x，y)关于点M(a，－1)的对称点为P′(2a－x，－2－y)．

－

－2·2xa－2－22

∴－2－y＝－2＋x－a＝x－a＝， －(x－a)＝(2a－x)－a2＋12＋11＋22＋1

－2

说明点P′(2a－x，－2－y)也在函数y＝x－a的图象上，由点P的任意性知，f(x)的图象关于点M(a，

2＋1－1)对称．

－22－

(2)由f(x)≥－2x得x－a≥－2x，则x－a≤2x，化为2xa·2x＋2x－2≥0，则有(2x)2＋2a·2x－2·2a≥0

2＋12＋1在x≥a上恒成立．令g(t)＝t2＋2a·t－2·2a，则有g(t)≥0在t≥2a上恒成立．∵g(t)的对称轴在t＝0的左侧，

∴g(t)在t≥2a上为增函数．

1(a>0，且a≠1)在区间[－

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∴g(2a)≥0.∴(2a)2＋(2a)2－2·2a≥0，∴2a(2a－1)≥0，则a≥0.即实数a的取值范围为a≥0.

－－

12．(2008年高考江苏)若f1(x)＝3|xp1|，f2(x)＝2·3|xp2|，x∈R，p1、p2为常数，且

??f1(x)，f1(x)≤f2(x)，f(x)＝?(1)求f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充要条件(用p1、p2表示)；(2)设a，b

?f2(x)，f1(x)>f2(x).?

是两个实数，满足a

长度之和为(闭区间[m，n]的长度定义为n－m)．

2

解：(1)f(x)＝f1(x)恒成立?f1(x)≤f2(x)?3|xp1|≤2·3|xp2|?3|xp1||xp2|≤2

?|x－p1|－|x－p2|≤log32.(*)若p1＝p2，则(*)?0≤log32，显然成立；若p1≠p2，记g(x)＝|x－p1|－|x－

－

－

－

－－

p1－p2，x

p2|，当p1>p2时，g(x)＝?－2x＋p1＋p2，p2≤x≤p1，

??p2－p1，x>p1.

所以g(x)max＝p1－p2，故只需p1－p2≤log32. p1－p2，x

当p1

??p2－p1，x>p2.

所以g(x)max＝p2－p1，故只需p2－p1≤log32.

综上所述，f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充要条件是|p1－p2|≤log32. (2)证明：分两种情形讨论．

a＋b

①当|p1－p2|≤log32时，由(1)知f(x)＝f1(x)(对所有实数x∈[a，b])，则由f(a)＝f(b)及a

2

p1－x?，x

22?，x≥p1，?3

②当|p1－p2|>log32时，不妨设p1log32.于是，当x≤p1时，有f1(x)＝3p1x<3p2x

从而f(x)＝f1(x)．

－－－－

当x≥p2时，f1(x)＝3xp1＝3p2p1·3xp2>3log32·3xp2＝f2(x)，从而f(x)＝f2(x)．

－－－－

当p1

p1＋p21

标为x0＝＋log32.①

22

1

显然p1

2

?f1(x)，p1≤x≤x0，?

由①易知f(x)＝?

?f(x)，x

－

－

??f1(x)，a≤x≤x0，

综上可知，在区间[a，b]上，f(x)＝?

?f(x)，x

故由函数f1(x)与f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为(x0－p1)＋(b－p2)，

－－

由于f(a)＝f(b)，即3p1a＝2·3bp2，得

p1＋p2＝a＋b＋log32.②

b－a1

故由①②得(x0－p1)＋(b－p2)＝b－(p1＋p2－log32)＝. 22

b－a

综合①、②可知，f(x)在区间[a，b]上单调增区间的长度之和为.

2

第二节 对数函数

19

A组

1．(2009年高考广东卷改编)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(a，a)，则f(x)＝________.

1

1

解析：由题意f(x)＝logax，∴a＝logaa2＝，∴f(x)＝log1x.答案：log1x

2222．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a、b、c的大小关系是________．

1111

解析：a＝log3π>1，b＝log23＝log23∈(，1)，c＝log32＝log32∈(0，)，故有a>b>c.答案：a>b>c

2222

??1?x???,x?[?1,0)3．若函数f(x)＝??4?，则f(log43)＝________.

?x?4,x?[0,1]解析：0

－1

1

的图象经过点(4,2)，则函数g(x)＝loga的图象是________．

x＋1

解析：由已知将点(4,2)代入y＝ax1，∴2＝a41，即a＝23>1. －

－

1

1

是单调递减的，故g(x)递减且过(0,0)点，∴④正确．答案：④ x＋1

1

5．(原创题)已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f()＝4，则f(2010)的值为_．

2010111解析：设F(x)＝f(x)－2，即F(x)＝alog2x＋blog3x，则F()＝alog2＋blog3＝－(alog2x＋blog3x)＝－F(x)，

xxx11

∴F(2010)＝－F()＝－[f()－2]＝－2，

20102010

又

即f(2010)－2＝－2，故f(2010)＝0.答案：0

6．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a>0且a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及相应x的值；(2)若f(log2x)>f(1)且log2f(x)

解：(1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a＝1，∴a＝2.又∵log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝2.∴f(x)＝x2－x＋2.

17

∴f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝(log2x－)2＋. 24

17

∴当log2x＝，即x＝2时，f(log2x)有最小值. 24

?(log2x)2－log2x＋2>2，?log2x<0或log2x>1，??

?(2)由题意知?∴ 22

??log(x－x＋2)<2.0

??02，

∴?∴0

B组

x＋3

1．(2009年高考北京卷改编)为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点

10________．

x＋3

解析：∵y＝lg＝lg(x＋3)－1，∴将y＝lgx的图象上的点向左平移3个单位长度得到y＝lg(x＋3)

10的图象，再将y＝lg(x＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y＝lg(x＋3)－1的图象．