2019届高考数学二轮复习专题二导数第1讲曲线的切线学案2019021532

。 第1讲 曲线的切线

1. 曲线的切线及切线方程是高考中的一个重要考点，曲线的切线与直线与二次曲线相切的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切则只有一个公共点．

2. 高考中涉及曲线的切线，往往有如下题型：一是直接求切线的方程；二是通过曲线的切线求相关的参数；三是求切点的坐标或公切线等．

3

1. (2018·苏州期中调研)已知曲线f(x)＝ax＋ln x在(1，f(1))处的切线的斜率为2，则实数a的值是________．

1答案： 3

112

解析：因为f′(x)＝3ax＋，所以f′(1)＝3a＋1＝2，解得a＝. x3

2. (2018·南通一调)若曲线y＝xln x在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则实数t的值为________．

－2

答案：e

解析：因为y′＝1＋ln x，所以当x＝1时，y′＝1，当x＝t时，y′＝1＋ln t．因

－2

为曲线y＝xln x在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，所以1·(1＋ln t)＝－1，得t＝e.

2x1

3. 已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为________．

42

答案：3

x21131

解析：已知曲线y＝－3ln x(x>0)的一条切线的斜率为，由y′＝x－＝，得x＝

422x2

3(x＝－2舍去)．

3

4. (2018·淮安期中)已知函数f(x)＝x.设曲线y＝f(x)在点P(x1，f(x1))处的切线与

f′（x1）

该曲线交于另一点Q(x2，f(x2))，记f′(x)为函数f(x)的导数，则的值为________．

f′（x2）

1答案： 4

3323

解析：设点P(x1，x1)，曲线y＝f(x)在点P(x1，x1)处的切线方程为y＝3x1x－2x1，由232

??y＝3x1x－2x1，f′（x1）3x113?解得Q(－2x1，－8x1)，所以x2＝－2x1，所以＝2＝. 3

f′（x2）3x24?y＝x，?

, 一) 求切线的方程

132

, 1) 已知点M是曲线y＝x－2x＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切

3

线为l.

(1) 求斜率最小的切线方程；

(2) 求切线l的倾斜角α的取值范围．

22

解：(1) y′＝x－4x＋3＝(x－2)－1≥－1，

5

所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，

35

所以斜率最小的切线过点(2，)，斜率k＝－1，

3

1

所以切线方程为3x＋3y－11＝0.

(2) 由(1)得k≥－1，所以tan α≥－1.

π3π

因为α∈[0，π)，所以α∈[0，)∪[，π)．

24

π3π

故α的取值范围是[0，)∪[，π)．

24

点评：求切线方程的方法：① 求曲线在点P处的切线，则表明点P是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；② 求曲线过点P的切线，则点P不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程．

(2018·济南一模)已知曲线f(x)＝ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为________．

1答案： e

1

解析：因为f(x)＝ln x，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝.

x设切点P(x0，ln x0)，

1lnx0

则切线的斜率为k＝f′(x0)＝＝kOP＝. x0x0

11所以ln x0＝1，所以x0＝e，所以k＝＝.

x0e

, 二) 利用导数的几何意义求参数的值 , 2) 已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x－m，m∈R. (1) 若曲线y＝f(x)与直线y＝g(x)相切，求实数m的值； (2) 若h(x)＝f(x)·g(x)，求h(x)在[0，1]上的最大值．

xx解：(1) 设曲线f(x)＝e与g(x)＝x－m相切于点P(x0，y0)，由f′(x)＝e知ex0＝1，解得x0＝0，可求得点P为(0，1)，代入g(x)＝x－m，得m＝－1.

xxxx(2) 因为h(x)＝(x－m)e，所以h′(x)＝e＋(x－m)e＝[x－(m－1)]e，x∈[0，1]． ① 当m－1≤0，即m≤1时，h′(x)≥0，此时h(x)在[0，1]上单调递增，所以h(x)max

＝h(1)＝(1－m)e.

② 当00，h(x)单调递增，h(0)＝－m，h(1)＝(1－m)e.

e

(ⅰ) 当－m≥(1－m)e，即≤m<2时，h(x)max＝h(0)＝－m；

e－1

e

(ⅱ) 当－m<(1－m)e，即1

e－1

③ 当m－1≥1，即m≥2时，h′(x)≤0，此时h(x)在[0，1]上单调递减，所以h(x)max

＝h(0)＝－m.

ee

综上，当m<时，h(x)max＝(1－m)e；当m≥时，h(x)max＝－m.

e－1e－1

点评：处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：① 切点处的导数是切线的斜率；② 切点在切线上；③ 切点在曲线上．

设函数f(x)＝x＋ax－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行．

(1) 求a的值； (2) 求此切线方程．

3

2

解：(1) 由题得f′(x)＝3x＋2ax－9＝3(x＋)－9－，

33

2

2

a2

a2

即当x＝－时f′(x)取得最小值－9－.

33

因为斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，

所以－9－＝－12，解得a＝±3.

3

由题设a<0，所以a＝－3.

(2) 由(1)知，切点坐标为(1，－12)， 所以切线方程为y＋12＝－12(x－1)， 即12x＋y＝0.

, 三) 公切线问题

17

, 3) 已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，

22

g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝________．

答案：－2

1

解析：因为f′(x)＝，所以直线l的斜率为k＝f′(1)＝1.

aa2

a2

x又f(1)＝0，所以直线l的方程为y＝x－1.

g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)， 则有x0＋m＝1，y0＝x0－1.

127

因为y0＝x0＋mx0＋(m＜0)，解得m＝－2(m＝4舍去)．

22

1

曲线y＝－(x＜0)与曲线y＝ln x的公切线(切线相同)的条数为________．

x答案：1

1

解析：设公切线切曲线y＝－(x＜0)与曲线y＝ln x的切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

x111

则切线方程为y＋＝2(x－x1)，y－ln x2＝(x－x2)，它们是同一方程，因此对应系数相

x1x1x2

2222

等，得x2＝x1，＝1－ln x2，则＝1－2ln(－x1)．由于函数y＝－＋1，y＝2ln(－x)的

x1x1x2

图象仅有一个交点，则＝1－2ln(－x1)仅有一个零点，则(x1，y1)，(x2，y2)均唯一确定，

x1

即公切线的条数为1.

, 四) 曲线的切线的综合应用

, 4) 函数y＝f(x)图象上不同两点M(x1，y1)，N(x2，y2)处的切线的斜率

|kM－kN|

分别是kM，kN，规定φ(M，N)＝(MN为线段MN的长度)叫做曲线y＝f(x)在点M与点

MN3

N之间的“弯曲度”．设曲线f(x)＝x＋2上不同两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，且x1x2＝1，则φ(M，N)的取值范围是________．

?310?答案：?0，?

5??

2

解析：f′(x)＝3x， 设x1＋x2＝t(|t|>2)，

2222|3x1－3x2||3x1－3x2|

则φ(M，N)＝＝＝23322222

（x1－x2）＋（x1＋2－x2－2）（x1－x2）[1＋（x1＋x1x2＋x2）]

3|x1－x2|·|x1＋x2|3|x1＋x2|3|t|

＝＝＝222222|x1－x2|1＋[（x1＋x2）－x1x2]1＋[（x1＋x2）－1]1＋（t－1）

3

322

t＋2－2

t

. 22

设g(x)＝x＋，x>4，则g′(x)＝1－2>0，

xx

9252

所以g(x)在(4，＋∞)上单调递增，所以g(x)>g(4)＝.所以t＋2－2>，

2t2310

所以0<φ(M，N)<. 5

1

设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.

x＋b

(1) 求f(x)的解析式；

(2) 证明函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心．

1

(1) 解：f′(x)＝a－2，

（x＋b）

192a＋＝3，a＝，2＋b4?a＝1，?

于是解得?或

?1b＝－18?

a－b＝－.2＝0，（2＋b）3

1

因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋. x－1

1

(2) 证明：已知函数y1＝x，y2＝都是奇函数，

???????

???

x1

所以函数g(x)＝x＋也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．

x1

＋1， x－1

故函数f(x)的图象是以点(1，1)为中心的中心对称图形． 而f(x)＝x－1＋

1. (2018·天津卷)已知函数f(x)＝eln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．

答案：e

2. (2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．

答案：1

1

解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1.又f(1)＝a，所以函数f(x)＝ax－ln xx

x的图象在点(1，f(1))处的切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，整理得y＝(a－1)x＋1，所以切线l在y轴上的截距为1.

32

3. (2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x＋(a－1)x＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为________．

答案：y＝x

3222

解析：因为f(x)＝x＋(a－1)x＋ax＝x[x＋(a－1)x＋a]为奇函数，设g(x)＝x＋(a

32

－1)x＋a，则g(x)为偶函数，故a－1＝0，则a＝1.设f(x)＝x＋x，从而f′(x)＝3x＋1，切线斜率k＝f′(0)＝1，因此切线方程为y＝x.

x4. (2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)e在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________．

答案：－3

4