量子力学练习题

一. 填空题

1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。

2．按照德布罗意公式 ，质量为?1,?2的两粒子，若德布罗意波长同为?，则它们的动量比p1:p2= 1:1；能量比E1：E2= 。

3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E=

32kT（k为

玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度Tmax= 。

4．阱宽为a的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a，质量仍为?，则第n个能级的能

2an?xa量En= ，相应的波函数?n(x)??和 。

n?sin?0?x?a?5．处于态?311的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z分量的值分别为E=

13.632eV??1.51eV；L= ；Lz=?，轨道磁矩Mz= 。

6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为?k(q)，当它们是玻色子时波函数为

?s(q1,q2)= ；玻色体系

为费米子时

?A(q1,q2)? ；费米体系

7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是

En=En?0????Hmn?0?n?m?n?Hmn22?E00n?Em??，

?0?m0??n(x) = ?其中微扰矩阵元

Hmn=??'??m?n?Hmn?E0n?Em????，

?0?m???H?0?nd?；

而

H'nn表示的物理意义是 。该方法的适用条件是

本征值， 。

8．在S2和S2的共同表象中，泡利矩阵的表示式为??yx? ，

? ，?z? 。

9．玻磁子MB与电子质量?、电荷e、光速c普朗克常数h的联系是MB= ；数值为MB= 。 11．普朗克常数h的数值为 单位是 。 12．德布罗意关系式为E= 和p? 。

13．被V伏电位差加速后，自由电子德布罗意波长的计算公式为?? ，当V=150伏时?? 。 14．薛定谔（Schr?dinger）方程为 ，定态薛定谔方程为 ，定态波函数为 。

?15．几率流密度矢量J? ，几率守恒定律的公式是 。

16．量子力学中表示力学量的算符是 ，它们的本征函数组成 。

?????17．若两个力学量A、B的对易关系式为[A、B]=ik，则测不准关系的严格表示为 。

18．波恩对波函数的统计解释（量子力学的基本原理之一）是： 。

19．波函数的标准条件是： 。

20．两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子能量相等，问要实现这个条件，光子的波长最大是 。

21、单粒子Schrodinger方程是 。 22、量子力学中的波函数的正统诠释是 。

23、设一电子为电势差V所加速，最后打在靶子上。若电子的动能完全转化为一个光子，

0?加速电子所需的电势差的表达式为 这光子相应的光波波长为5000A的可见光时，加速电势差V= 伏特。

25、量子力学中的本征值问题是 。 29、Planck的量子假说揭示了微观粒子能量的 特性，Einstein的光量子假说揭示

了光的 性，Bohr的氢原子理论解决了经典电磁场理论和原子的 之间的矛盾，解决了 的起源问题。

30、力学量算符必须是 算符，以保证它的本征值为 。对一个量子体系进行某一力学量的测量值肯定是该力学量的 当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的，除非体系处于该力学量的某一 。测量结果的不确定性来源于 。两个力学量同时具有确定值的条件是两个力学量算符

。

32、在量子力学中，体系的量子态用Hilbert空间中的 来描述，而力学量用 描述。力学量算符必为 算符，以保证其 为实数。当对体系进行某一力学量的测验时，测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于 。

33、在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于 的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的 对易，而与体系的 无关。一个力学量是否具有确定值，只决定与体系的 ，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的 ，无论该力学量是否是守恒量。

35、定态波函数是 。

36、力学量的平均值公式是 ， ， 。 37、含时Schrodinger方程； 。

单粒子定态Schrodinger方程 。 38．对全同性原理回答下列问题。

① 全同性原理的表述是： 。

② 全同性原理对全同粒子体系波函数要求是： 。 ③全同性原理与泡利原理的关系 。 39、计算粒子的德布罗意波的波长用公式()计算.

能量为0.1电子伏，质量为1克的质子；德布罗意波的波长?= 。 温度T=1K时，具有动能E?32KT（k为玻尔兹曼常数）的氦原子德布罗意波的波长

?= 。

ikx

40、自由粒子平面波函数ψ(x)=ce的动量不确定度Δp= ，坐标不确定度Δx

= 。

41、波函数ψ(x)=coskx是否自由粒子的能量本征态？答： 。如果是，能量本征值是 。该波函数是否动量本征态？答： ，因为 。

??42、设A,B是两个互为不对易的厄米算符。在下列算符

???????（1）AB ; （2）AB-BA （3）A （4）AB+BA 中，算符 和 的本征值必为实数。

44、设一个二能级体系的两个能量本征值分别为E1 和E2，相应的本征矢量为 ｜n1 > 和 ｜n12 > 。则在能量表象中，体系Hamilton量的矩阵表示是 ，体系的可能状态是 ，在各可能状态下，能量的可能测值是 ，相应的几率是 。 45、按照德布罗意公式 ；质量为?1,?2两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p1:p2= ；能量比E1：E2= ；若粒子速度为V=0.9c,照相对论公式计算，其德布罗波长?= 。

46、阱宽为a的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大（缩

小） 倍；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a，质量仍为?，则第n个

能级的能量 En= ；相应的波函数?n(x)= 。

'2

????47、两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为?k(q)，当它们是玻色子时波函数为

?s(q1,q2)= ，为费色子时?A(q1,q2)= 。

48、微观粒子的能量E和动量P与相联系的波的频率?和波长?的关系是 。

49、与自由粒子相联系的波是 ，并写出表达式?＝ 。

?表示力学量F，那么当体系处于F?的本征态时，力学量有 ，这个值50、如果算符F?在本征态中的 。 就是F答案

1．量子力学的最早创始人是 普朗克 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 能量量子化 假设，解决了黑体辐射 的问题。 2．按照德布罗意公式??h?,p?h?，质量为?1,?2的两粒子，若德布罗意波长同

为?，则它们的动量比p1:p2= 1:1 。

3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E=

32kT（k为

玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度1?h??2Tmax=???10K。

3?k???24．阱宽为a的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大（缩小） 缩小1倍；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a，质量仍为?，则第n个能级的能

量

En=

2an??/2?a2222n?1,2,3?，相应的波函数

?n(x)??n?sn?xina?0?x?a?和?n?0?x?0,x?a?。

5．处于态?311的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z分量的值分别为E=

13.632eV??1.51eV；L=2?；Lz=?，轨道磁矩Mz=MB。

6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为?k(q)，当它们是玻色子时波函数为

?s(q1,q2)=

12??k1?q1??k2?q2???k1?q2??k2?q1??玻色体系；

为费米子时

?A(q1,q2)? 12??k1?q1??k2?q2???k1?q2??k2?q1??费米体系

7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是

En=En?0????Hmn?m?n?Hmn2?E0n?Em??，

0?