2020高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4-5简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公

2019年

＝－sin 10°·

cos25°－sin25°

sin 5°cos 5°cos 10° sin 10°

cos 10°－2sin 20°

2sin 10°

＝－sin 10°·1

2

＝－2cos 10°＝＝

cos 10°－－

2sin 10°cos 10°－

13cos 10°－222sin 10°

＝＝＝. 引申探究

化简： (0<θ<π). 解 ∵0<<，∴＝2sin ，

又1＋sin θ－cos θ＝2sin cos ＋2sin22 ＝2sin (sin ＋cos ) ∴原式＝θ2sin

2

θθ＋cos 22

θ

2sin 2

θθ－cos 22

θ

＝－cos θ.

思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝(α＋)－(＋β)等.

(1)(2016·泰州模拟)若sin(＋α)＝，则cos(－2α)＝ .

(2)(2016·南京模拟)化简(tan α＋)·sin 2α－2cos2α＝ . (3)计算：sin 50°(1＋tan 10°)＝ .

2019年

答案 (1)－ (2)－cos 2α (3)1

解析 (1)∵sin(＋α)＝，∴cos(－α)＝， ∴cos(－2α)＝cos 2(－α)＝2×－1＝－. (2)原式＝·sin 2α－2cos2α＝1－2cos2α＝－cos 2α.

(3)sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋) ＝sin 50°×

cos 10°＋3sin 10°

cos 10°13cos 10°＋22

cos 10°

＝sin 50°×＝＝＝＝1.

8.利用联系的观点进行角的变换

典例 (1)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为 . (2)若tan α＝2tan，则＝ .

思想方法指导 三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件.常见的变角技巧有＝(α－)－(－β)；α＝(α－β)＋β；α＋＝(α＋)－；15°＝45°－30°等. 解析 (1)∵α为锐角且cos(α＋)＝>0， ∴α＋∈(，)，∴sin(α＋)＝. ∴sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]

＝sin 2(α＋)cos －cos 2(α＋)sin 4 ＝sin(α＋)cos(α＋)－[2cos2(α＋)－1] ＝××－[2×()2－1] ＝－＝. (2)＝

3ππ

α－＋

102πα－5

π

2019年

ππ

sin αcos＋cos αsin

55

＝＝ ππ

sin αcos－cos αsin

55sin αππ

cos＋sincos α55＝sin απ π

cos－sincos α55πsin

5ππ

2·cos＋sin

π55cos

5

＝

πsin

5ππ

2·cos－sin

π55cos5

＝＝3.

答案 (1) (2)3

1.(2016·苏州暑假测试)已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan(α＋)＝ . 答案

1 7

解析 由α∈(0，π)，cos α＝－，得tan α＝－， 则tan(α＋)＝＝＝.

2.(2016·盐城三模)若角α＋的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝x上，则tan α的值为 . 答案 －3 解析 若角α＋的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝x上，则tan(α＋)＝，

又tan(α＋)＝，所以tan α＝－.

3.(2015·重庆改编)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝________. 答案

1

71

解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.

4.(2016·江苏启东中学阶段检测)若α、β均为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β＝ .

答案

13

解析 由于α、β都是锐角，所以α＋β∈(0，π)， 又cos α＝，cos(α＋β)＝－， 所以sin α＝，sin(α＋β)＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

＝－×＋×＝. 5.的值是 . 答案

3

解析 原式＝－－sin 20°

sin 70° ＝＋

－sin 20°

sin 70°

＝＝.

6.已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则β的大小关系是 . 答案 β<α

解析 ∵α为锐角，sin α－cos α＝>0，∴α>. 又tan α＋tan β＋tan αtan β＝， ∴tan(α＋β)＝＝，

∴α＋β＝，又α>，∴β<<α. 7.化简·＝ . 答案

12

1

sin 2α解析 原式＝tan(90°－2α)·2

cos 2α

＝··sin 2α

cos 2α

＝··＝.

2019年

α，