苏教版高中数学(必修3)2.3《总体特征数的估计》word教案2篇

第7课时：总体特征数的估计（二）

【目标引领】 1．学习目标：

理解样本数据的方差，标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差，并使学生领会通过合理的抽样对总体的稳定性水平作出科学的估计的思想。掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算方差，标准差，并对总体稳定性水平估计的方法。

2．学法指导：

①．方差和标准差计算公式：

设一组样本数据x1,x2,?,xn，其平均数为x，则 样本方差：s=

2

1２22

〔（x1—x）+（x2—x）+?+（xn—x）〕 n???122[(x1?x)?(x2?x)???(xn?x)2] 样本标准差：s=n②．方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数。标准差大说明波动大。

【教师在线】 1．解析视屏：

①若给定一组数据x1,x2,?,xn，方差为s，则ax1,ax2?,axn的方差为a2s2

2

②若给定一组数据x1,x2,?,xn，方差为s，则ax1?b,ax2?b?,axn?b的方差为a2s2；

2

2

特别地，当a?1时，则有x1?b,x2?b,?,xn?b的方差为s，这说明将一组数据的每一

个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；

③方差刻画了数据相对于均值的平均偏离程度；对于不同的数据集，当离散程度越大时，方差越大；

④方差的单位是原始测量数据单位的平方，对数据中的极值较为敏感，标准差的单位与原始测量数据单位相同，可以减弱极值的影响。

2．经典回放：

例1： 要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度。为此对两人进行了15次比赛，得到如下数据：（单位：cm）：

甲 755 752 757 744 743 729 721 731 778 768 761 773 764 736 741 乙 729 767 744 750 745 753 745 752 769 743 760 755 748 752 747 如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？ 解：x甲≈750.2

x乙≈750.6

s甲≈16.4 s乙≈9.6

甲乙两名跳远运动员的平均成绩相差无几，乙的成绩较稳定，所以选拔乙去参加运动会比较合适。

点评：总体平均数描述一总体的平均水平，方差和标准差描述数据的波动情况或者叫稳定程度。

例2：证明方差的两个性质

①．若给定一组数据x1,x2,?,xn，方差为s，则ax1,ax2?,axn的方差为a2s2

2

②．若给定一组数据x1,x2,?,xn，方差为s，则ax1?b,ax2?b?,axn?b的方差为a2s2；

2

解：设一组样本数据x1,x2,?,xn，其平均数为样本方差：s=

2

x1?x2???xn=x，则

n1２22

〔（x1—x）+（x2—x）+?+（xn—x）〕 n另一组样本数据ax1,ax2?,axn，其平均数为样本方差=

ax1?ax2???axn=ax,则

n1２22

〔（ax1—ax）+（ax2—ax）+?+（axn—ax）〕 n21２22=a〔（x1—x）+（x2—x）+?+（xn—x）〕

n=a2s2.

同样：另一组样本数据ax1?b,ax2?b?,axn?b，其平均数为

ax1?b?ax2?b???axn?b=ax+b,

n样本方差=

1２22

〔（ax1+b—ax-b）+（ax2+b—ax-b）+?+（axn+b—ax-b）〕 n21２22

= a〔（x1—x）+（x2—x）+?+（xn—x）〕

n=a2s2.

点评：特别地，当a?1时，则有x1?b,x2?b,?,xn?b的方差为s，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性。

2

【同步训练】

1．若k1,k2,?,k8的方差为3，则2(k1?3),2(k2?3),?,2(k8?3)的方差为________. 2．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ） A．9.4,0.484 B．9.4,0.016 C．9.5,0.04 D．9.5,0.016 3. 从甲乙两个总体中各抽取了一个样本：

甲 乙 6 8 5 7 8 6 4 5 9 8 6 2 根据以上数据，说明哪个波动小？

4.甲乙两人在相同条件下个射击20次，命中的环数如下： 甲 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 5 6 6 7 8 7 9 10 9 6 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 9 6 5 8 6 9 6 8 7 7 问谁射击的情况比较稳定？ 5．为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：

甲 乙 12 11 13 16 14 17 15 14 10 13 16 19 13 6 11 8 15 10 11 16 哪种小麦长得比较整齐？

6．从A、B两种棉花中各抽10株，测得它们的株高如下：(CM) A、 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 B、 27 16 44 27 44 16 40 16 40 40 (1) 哪种棉花的苗长得高？ (2) 哪种棉花的苗长得整齐？

【拓展尝新】

7．“用数据说话”，这是我们经常可以听到的一句话，但数据有时也会被利用，从而产生误导。例如，一个企业中，绝大多数是一线工人，他们的年收入可能是一万元左右，另有一些经理层次的人，年收入可以达到几十万元。这时年收入的平均数会比中位数大得多。尽管这时中位数比平均数更合理些，但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时，也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问。你认为“我们单位的收入比别的单位高”这句话应当怎么理解？

【解答】

1．12 2．D

3．甲波动小 4．乙情况比较稳定 5．甲种小麦长得比较整齐 6．乙种棉花的苗长得高，甲种棉花的苗长得整齐。

7．从收入的平均数及数据的稳定程度（两极分化的程度）来分析。

2.3 总体特征数的估计

教学目标

1．通过实例理解样本的数字特征，如平均数，方差，标准差．

2．能根据实际问题的需求合理地选取样本，从数据样本中提取基本的数字特征，并作出合理的解释． 重点难点

重点（1）用算术平均数作为近似值的理论根据．（2）方差和标准差刻画数据稳定程度的理论根据． 难点：（1）平均数对总体水平进行评价时的可靠性(和中位数和众数之间的联系)．（2）通过

实例使学生理解样本数据的方差，标准差的意义和作用． 教学过程

一．算术平均数和加权平均数

（一）问题情境

某校高一(1)班同学在老师的布置下，用单摆进行测试，以检验重力加速度．全班同学

2

两人一组，在相同条件下进行测试，得到下列实验数据(单位：ｍ／s)：

9．62 9．54 9．78 9．94 10．01 9．66 9．88 9．68 10．32 9．76 9．45 9．99 9．81 9．56 9．78 9．72 9．93 9．94 9．65 9．79 9．42 9．68 9．70 9．84 9．90 问题1：怎样用这些数据对重力加速度进行估计？

一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数的中位数（median）．

一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数的中位数

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数的众数，

算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数． 问题2：用这些特征数据对总体进行估计的优缺点是什么？ 21世纪教育网 用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系．对这些数据所包含的信息的反映最为充分，因而应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有重要作用，但计算较繁琐，并且易受极端数据的影响．

用众数作为一组数据的代表，可靠性较差，但众数不受极端数据的影响，并且求法简便，当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”．

用中位数作为一组数据的代表，可靠性也较差，但中位数也不受极端数据的影响，也可选择中位数来表示这组数据的“集中趋势”．

平均数、中位数、众数都是描述数据的“集中趋势”的“特征数”，它们各自特点如下： 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数、众数都不具备的性质，也正是这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息.

1n问题3：我们常用算术平均数?ai(其中ai(i＝1，2，?，n)为n个实验数据)作为

ni?1重力加速度的近似值，它的依据是什么呢？

处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差尽可能地小，我们考虑(x222

－a1)＋(x－a2)＋?＋(x－an)，当x为何值时，此和最小．

2222222

(x－a1)＋(x－a2)＋?＋(x－an)＝nx－2(a1＋a2＋?＋an)x＋ a1＋a2＋?＋an．

所以当x＝

a1＋a2＋?＋an时离差的平方和最小．

n（二）数学理论

故可用x＝

a1＋a2＋?＋an作为表示这个物理量的理想近似值，称其为这ｎ个数据a1＋a2

n＋?＋an的平均数或均值一般记为：