高等数学总结辅导

若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)， 则说

是函数

的一个极大值；

＜均成立，

若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)， 则说

是函数

的一个极小值.

＞均成立，

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。 我们知道了函数极值的定义了，怎样求函数的极值呢？ 学习这个问题之前，我们再来学习一个概念——驻点 凡是使

的x点，称为函数

的驻点。

判断极值点存在的方法有两种：如下 方法一： 设函数

在x0点的邻域可导，且

.

＞0，当x取x0右侧邻近值时，

＜0，

情况一：若当x取x0左侧邻近值时， 则函数

在x0点取极大值。

＜0，当x取x0右侧邻近值时，

＞0，

情况一：若当x取x0左侧邻近值时， 则函数

在x0点取极小值。

注：此判定方法也适用于导数在x0点不存在的情况。 用方法一求极值的一般步骤是： a)：求

；

b)：求 c)：判断

的全部的解——驻点；

在驻点两侧的变化规律，即可判断出函数的极值。

例题：求 解答：先求导数

再求出驻点：当

极值点

时，x=-2、1、-4/5

判定函数的极值，如下图所示

方法二：

设函数在x0点具有二阶导数，且

＜0，函数

＞0，函数

时

在x0点取极大值；

在x0点取极小值；

.

则：a)：当 b)：当 c)：当

=0，其情形不一定，可由方法一来判定.

例题：我们仍以例1为例，以比较这两种方法的区别。

解答：上面我们已求出了此函数的驻点，下面我们再来求它的二阶导数。

，故此时的情形不确定，我们可由方法一来判定； ＜0，故此点为极大值点；

＞0，故此点为极小值点。

函数的最大值、最小值及其应用

在工农业生产、工程技术及科学实验中，常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使\产品最多\、\用料最省\、\成本最低\等。

这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值、最小值的问题。

怎样求函数的最大值、最小值呢？前面我们已经知道了，函数的极值是局部的。要求在[a,b]

上的最大值、最小值时，可求出开区间(a,b)内全部的极值点，加上端点大值、最小值即为所求。

的值，从中取得最

例题：求函数 解答：

在此区间处处可导，

，在区间[-3，3/2]的最大值、最小值。

先来求函数的极值，故x=±1，

再来比较端点与极值点的函数值，取出最大值与最小值即为所求。

因为

故函数的最大值为

，，

，函数的最小值为

， 。

例题：圆柱形罐头，高度H与半径R应怎样配，使同样容积下材料最省？

解答：由题意可知：为一常数，

面积

故在V不变的条件下，改变R使S取最小值。

故：时，用料最省。

曲线的凹向与拐点

通过前面的学习，我们知道由一阶导数的正负，可以判定出函数的单调区间与极值，但是还不能进一步研究曲线的性态，为此我们还要了解曲线的凹性。 定义：

对区间I的曲线作切线，如果曲线弧在所有切线的下面，则称曲线在区间I下凹，如果曲

线在切线的上面，称曲线在区间I上凹。

曲线凹向的判定定理

定理一：设函数

导数 定理二：设函数

在区间(a,b)上可导，它对应曲线是向上凹(或向下凹)的充分必要条件是：

在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。

在区间(a,b)上可导，并且具有一阶导数和二阶导数；那末：

＞0，则＜0，则

在[a,b]对应的曲线是下凹的； 在[a,b]对应的曲线是上凹的；

若在(a,b)内， 若在(a,b)内，

例题：判断函数的凹向

解答：我们根据定理二来判定。

因为，所以在函数的定义域(0,+∞)内，＜0，

故函数所对应的曲线时下凹的。

拐点的定义

连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点。

拐定的判定方法

如果在区间(a,b)内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定的拐点。