华东理工大学高等数学（下册）第9章作业答案

（3）y??ycotx?ecosx，y()?1；

?2 解： ? y??ycotx?ecosx， ?P(x)?coxt，Q(x)?ecosx．

?coxtdx?coxtdxC?ecoxse?dx? ?e?lnsinx(C?ecosxelnsinxdx) ? y?e???????

cosxsinxdx)?(C?ecosx)cscx， ?cscx(C?e? 由y()?1， 可确定 C?2，所以

?2y?(2?ecosx)cscx．

（4）x2dy?(2xy?x?1)dx?0，y解： 方程变形为 y??

2211?xdx??xdx?y?edx? ?c?(?2)exx???x?1?0．

211y??2，是一阶线性非齐次方程，其通解为 xxx? ?1x2c11112?1?12????? c?(?)xdx?c?x?x222????2xxx2??x??x?由 y(1)?0， 得 c?

1111??． ， 所以特解为：y?222x2x**4．求微分方程 ylnydx?(x?lny)dy?0 的通解（提示将x看作是y的函数）． 解：将x看作是y的函数，原方程可化为

dx11?x?，这是一阶线性方程，将其中dyylnyyP(y)?11, Q(y)?代入一阶线性方程求解公式，得通解 ylnyy?11???ylnydy?1?ylnydy?1dy? ?e?ln(lny)?c??eln(lny)dy? x?e?c??eyy?????? ?

1?lny?c1c?dy ???lny2lny． ?lny?y?? 5

**5．求满足关系式

?x2uy(u)du?x2?y(x)的可导函数y(x)．

dy，dx解：这是一个积分方程，在方程等式两边同对x求导，可得微分方程xy(x)?2x?xdydy?xy??2x，分离变量得即 ?xdx，积分得y?Ce2?2， dxy?22在原方程两边以x?以原方程的解为 y??4e

2代入，可得初试条件yx2?12x?2??2．据此可得C??4e?1，所

?2．

**6．设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为k），求降落伞的下落速度与时间的函数关系． 解：根据牛顿运动第二定理有m分得

dv?mg?kv．这是一个可分离变量方程，分离变量并积dt1tln(mg?kv)??C． km

?k?t?mg?1m由初始条件v(0)?0， 得C??ln(mg)，即得 v??1?e?．

k?k?

**7．求一曲线，已知曲线过点(0,1)，且其上任一点(x,y)的法线在x轴上的截距为kx． 解：曲线在点(x,y)处的法线斜率为?11，所以法线方程为Y?y??(X?x)．

y?y?只要令Y?0，就可以得到法线在x轴上的截距为 X?x?yy? ．

据题意可得微分方程x?yy??kx，即yy??(k?1)x．这是一个可分离变量方程，分

22离变量并积分得所求曲线y?(1?k)x?C，由于曲线过点(0,1)，所以C?1，所以所求

曲线方程为

y2?(1?k)x2?1．

***8．求与抛物线族y?Cx（C是常数）中任一抛物线都正交的曲线（族）的方程．

2解：在给定曲线y?cx上任意一点(x,y)处切线斜率为k0?y??2cx，从上面两式中消

2去c得k0?y??2y2y，这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程y??． xx 设所求曲线方程为 y?y(x)，在同一点(x,y)处切线斜率为k?y?，则根据正交要

6

求有k0k??1，这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程y???x． 2y2这是一个可分离变量方程，分离变量2ydy??xdx，积分得所求曲线族y??即椭圆族y?212x?c，212x?c． 2?y***9．作适当变换，求微分方程 y??4e解 原方程可化为ey??y?2的通解． 2x?122zey?4，在换元z?ey下方程可化为z???4，这2x?12x?1

是一个一阶线性方程，其通解为

z?e??2dx2x?12dx???12x?1{C?4x?4x2}． dx???C??4e??2x?1?y2?dyy1??tan??的通解． ***10．作适当变换，求微分方程

dx2x2y?x?dudxy2?解：令y?ux，代入方程整理得 ，积分得 sinu?Cx，以 u? 代入tanuxx2上式，即得原方程的通解：

y2sin?Cx ．

x第9章 （之3） （总第46次）

教学内容：§9.2 .3齐次型方程；9.2.4伯努利方程．

**1．求下列微分方程的通解：

dyy?(1?lny?lnx)； dxxdyydyyy?(1?lny?lnx)， ? 解： ? =(1+ln)，这是一个一阶齐次型方程． dxxdxxx(1)

令 u?y，则 y?ux，即y??u?xu?，于是原方程可化为xu??ulnu．这是一个xdudxdudx???，得lnlnu?lnx?lnc，即u?ecx． ，并积分?ulnuxulnux可分离变量方程．

分离变量以 u?

ycx代入，得所求的通解为y?xe． x

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（2）(xy??y)arctan解：方程可化为y??y?x． xy?x1yarctanx，这是一个一阶齐次型方程．

令 u?ydu1?，则 y?ux，即y??u?xu?，于是原方程可化为x，这是一个dxarctanux可分离变量方程．

分离变量后积分得 x1?u2?Ceuarctanu．

arctanyx． 以 u?代入上式得原方程的通解：x2?y2?Cexx

yy**2．求解下列初值问题：

（1）xydx?(2x2?y2)dy?0 满足初始条件 y(2)?1 的特解． 解: ? xydx?(2x2?y2)dy?0，

dx2xyx?， 令 u? ， =

dyyxy 则 u?ydududu1dydy?2u?， =， ??=?，

1y1dyuyu?u?uu1?ln(u2?1)?lny?lnc， ?u2?1?cy， 即 u2?1?c2y2 ， 2x22 代回即得2+1=c2y2， ?y(2)?1， ?c?5， 因此 x2?y2=5y4．

y（2）??(x?y)dx?(x?y)dy?0,?yx?0?0.1?

ydyx?yx，令 u?y，y??u?xu?， ??解：原方程可表为

dxy?xyx?1xdu1?2u?u21?u代入方程，有 u?xu??，即 x， ?dxu?1u?1分离变量

u?111du?dx，积分得 ?ln(1?2u?u2)?lnx?lnC 2x1?2u?u2?通解 x2?2xy?y2?C，令 x?0,y?0，得 C?0．

所以初值问题的解为 x2?2xy?y2?0．

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