2015高中数学 1.1.1算法的概念学案 新人教A版必修3

第一章 算法初步

§1．1 算法与程序框图 1．1．1 算法的概念

【明目标、知重点】

1．通过解二元一次方程组的方法，体会算法的基本思想． 2．了解算法的含义和特征．

3．会用自然语言表述简单的算法． 【填要点、记疑点】 1．算法的概念 12世纪的是指用阿拉伯数字进行算术运算的过程 算法 数学中的 算法 通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤 现代算法 通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题 2．算法与计算机 计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题． 【探要点、究所然】

[情境导学] 赵本山和宋丹丹的小品《钟点工》中有这样一个问题：宋丹丹：要把大象装入冰箱，总共分几步？哈哈哈哈，三步．第一步，把冰箱门打开；第二步，把大象装进去；第三步，把冰箱门带上． 探究点一 算法的概念

思考1 一个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1个大人或两个小孩，他们三人都会划船，但都不会游泳．试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案． 答 第一步，两个小孩同船过河去； 第二步，一个小孩划船回来； 第三步，一个大人划船过河去； 第四步，对岸的小孩划船回来； 第五步，两个小孩同船渡过河去．

小结 广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序．菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法．在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种步骤一定可以得到结果的解决问题的程序．

思考2 在初中，对于解二元一次方程组你学过哪些方法？解二元一次方程组

?x－2y＝－1 ①??的具体步骤是什么？ ?2x＋y＝1 ②?

答 解二元一次方程组有加减消元法和代入消元法． 解方程组的步骤：

方法一 第一步，②－①×2得5y＝3．③

3

第二步，解③得y＝．

531

第三步，将y＝代入①，得x＝．

55

1

1x＝，??5

第四步，得方程组的解为?3

y＝??5.

21

方法二 第一步，①＋②×2，得5x＝1．③ 1

第二步，解③，得x＝．

5

第三步，②－①×2，得5y＝3．④

3

第四步，解④，得y＝．

51x＝，??5

第五步，得方程组的解为?3

y＝??5.思考3 写出求方程组?

?A1x＋B1y＋C1＝0 ①?

??A2x＋B2y＋C2＝0 ②

(A1B2－B1A2≠0)的解的算法．

答 第一步，②×A1－①×A2，得(A1B2－A2B1)y＋A1C2－A2C1＝0．③ A2C1－A1C2

第二步，解③，得y＝．

A1B2－A2B1

A2C1－A1C2－B2C1＋B1C2

第三步，将y＝代入①，得x＝．

A1B2－A2B1A1B2－A2B1－BC＋BCx＝??AB－AB，

第四步，得方程组的解为?AC－ACy＝??AB－AB.12

12

21

2112

1221

思考4 由思考3我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公式可得到思考2的另一

个算法，请写出此算法．

答 第一步，取A1＝1，B1＝－2，C1＝1，A2＝2，B2＝1，C2＝－1．

－B2C1＋B1C2A2C1－A1C2

第二步，计算x＝与y＝．

A1B2－A2B1A1B2－A2B1

第三步，输出运算结果．

小结 根据上述分析，用加减消元法解二元一次方程组，可以分为三、四或五个步骤进行，这些步骤就构成了解二元一次方程组的一个“算法”．在数学中，按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤称为算法．从以上思考中我们看到某一个问题的算法不唯一．

探究点二 算法的步骤设计

例1 设计一个算法，判断7是否为质数． 思考1 质数是怎样定义的？

答 只能被1和本身整除的大于1的整数叫质数． 思考2 根据质数的定义，怎样判断7是否为质数？

答 可以这样判断：依次用2～6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数．

解 第一步，用2除7，得到余数1，所以2不能整除7． 第二步，用3除7，得到余数1，所以3不能整除7． 第三步，用4除7，得到余数3，所以4不能整除7． 第四步，用5除7，得到余数2，所以5不能整除7．

2

第五步，用6除7，得到余数1，所以6不能整除7． 因此，7是质数．

反思与感悟 设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤： (1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来．

跟踪训练1 设计一个算法，判断35是否为质数．

解 第一步，用2除35，得到余数1，所以2不能整除35． 第二步，用3除35，得到余数2，所以3不能整除35． 第三步，用4除35，得到余数3，所以4不能整除35． 第四步，用5除35，得到余数0，所以5能整除35． 因此，35不是质数．

思考3 要判断整数89是否为质数，按照例1的思路需用2～88逐一去除89求余数，需要

87个步骤，这些步骤基本是重复操作，如何改进这个算法，减少算法的步骤呢？ 答 (1)用i表示2～88中的任意一个整数，并从2开始取数；

(2)用i除89，得到余数r．若r＝0，则89不是质数；若r≠0，将i的值增加1，再执行同样的操作；

(3)这个操作一直进行到i取88为止．

思考4 判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？

答 第一步，给定一个大于2的整数n． 第二步，令i＝2．

第三步，用i除n，得到余数r．

第四步，判断“r＝0”是否成立．若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示．

第五步，判断“i>n－1”是否成立．若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步．

2

例2 写出用“二分法”求方程x－2＝0(x>0)的近似解的算法．

2

解 第一步，令f(x)＝x－2，给定精确度d． 第二步，确定区间[a，b]，满足f(a)f(b)<0．

a＋b第三步，取区间中点m＝．

2

第四步，若f(a)f(m)<0，则含零点的区间为[a，m]；否则，含零点的区间为[m，b]．将新得到的含零点的区间仍记为[a，b]． 第五步，判断[a，b]的长度是否小于d或f(m)是否等于0．若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步．

反思与感悟 算法的特点：(1)有穷性：一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束．

(2)确定性：算法的计算规则及相应的计算步骤必须是确定的．

(3)可行性：算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作，并能得到确定的结果．

跟踪训练2 求2的近似值，精确度0．05．

解 第一步，确定区间[a，b]，因2>1，2<2，设a＝1，b＝2．

a＋b第二步，m＝，判断m是否等于2，若相等，则m为所求，否则执行第三步．

2第三步，若m>2，则令b＝m，若m<2，则令a＝m．

第四步，重复第二、第三步，直到|a－b|<0．05或m＝2时结束算法． 【当堂测、查疑缺】

1．在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是 ( ) A．这个算法可以求所有的零点 B．这个算法可以求任何方程的零点

3

C．这个算法能求所有零点的近似解 D．这个算法可以求变号零点近似解 答案 D

解析 二分法的理论依据是函数的零点存在定理．它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值．

2．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求它的总分和平均分

的一个算法如下，请将其补充完整． 第一步，取A＝89，B＝96，C＝99． 第二步，________________． 第三步，________________． 第四步，输出计算结果． 答案 计算总分D＝A＋B＋C 计算平均分E＝

3

3．看下面的四段话，其中不是解决问题的算法是

_________________________________________________________________． (1)从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达；

(2)解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；

2

(3)方程x－1＝0有两个实根；

(4)求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6,6＋4＝10,10＋5＝15，最终结果为15． 答案 (3)

解析 由于(3)不是解决某一类问题的步骤，故(3)不是解决问题的算法． 4．已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：

22

(1)计算c＝a＋b；

(2)输入直角三角形两直角边长a，b的值； (3)输出斜边长c的值．

其中正确的顺序是________． 答案 (2)(1)(3)

解析 算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算．

【呈重点、现规律】

1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性． 2．算法设计的要求：

(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用． (2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．

(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果．

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