学案导学设计2014-2015学年高中数学(人教A版，选修1-1)作业：2.2.2双曲线的简单几何性质

2.2.2 双曲线的简单几何性质

课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．

x2y2－＝1 a2b2(a>0，b>0) y2x2－＝1 a2b2(a>0，b>0) 1．双曲线的几何性质 标准方程 图形 焦点 焦距 范围 对称性 性 质 顶点 轴长 实轴长＝______，虚轴长＝______ 离心率 渐近线 2.直线与双曲线 一般地，设直线l：y＝kx＋m (m≠0) ①

x2y2

双曲线C：2－2＝1 (a>0，b>0) ②

ab

把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.

b

(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于

a

________．

b

(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，

a

Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．

Δ>0?直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0?直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ<0?直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．

一、选择题

6

的是( ) 2

x2y2x2y2

A．－＝1 B．－＝1

244222xyx2y2

C．－＝1 D．－＝1

46410

22xy

2．双曲线－＝1的渐近线方程是( )

2541．下列曲线中离心率为

25

A．y＝±x B．y＝±x

52425

C．y＝±x D．y＝±x

254

3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的方程为( )

A．2x2－4y2＝1 B．2x2－4y2＝2 C．2y2－4x2＝1 D．2y2－4x2＝3

x2y2

4．设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程

ab

为( )

A．y＝±2x B．y＝±2x

21

C．y＝±x D．y＝±x

22

5．直线l过点(2，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

x2y2

6．已知双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支

ab

上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )

457A. B. C．2 D. 3331 2 3 4 5 6 题 号 答 案 二、填空题 5x2y2

7．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是6，且a>b，则双曲线2－2＝1

2ab

的离心率e＝______.

8．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程是________________．

x2y2

9．与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为

916

__________．

三、解答题

10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．

15?

(1)经过点??4，3?，且一条渐近线为4x＋3y＝0；

π

(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.

3

22y11．设双曲线x－＝1上两点A、B，AB中点M(1，2)，求直线AB的方程． 2

能力提升

12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )

A．2 B．3

3＋15＋1

D． 22

x22

13．设双曲线C：2－y＝1 (a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.

a

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；

→5→

（2）若设直线l与y轴的交点为P，且PA＝PB，求a的值．

12

C．

x2y2

1．双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a，

ab

0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a.

cb

2．双曲线的离心率e＝的取值范围是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且＝e2－1，离

aa

心率e越大，双曲线的开口越大．可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．

x2y2bx2y2

3．双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，也可记为2－2＝0；与双曲

abaab

2222xyxy

线2－2＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为2－2＝λ (λ≠0)． abab

2．2.2 双曲线的简单几何性质

答案

知识梳理 1. 标准方程 x2y2－＝1(a>0，b>0) a2b2y2x2－＝1(a>0，b>0) a2b2图形 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴长 离心率 渐近线 F1(－c,0)，F2(c,0) |F1F2|＝2c x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 关于x轴、y轴和原点对称 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a) 实轴长＝2a，虚轴长＝2b ce＝(e>1) aby＝±x aay＝±x b F1(0，－c)，F2(0，c) 性 质 2.(1)一点 (2)两个 一个 没有 作业设计

6c23b212

1．B [∵e＝，∴e＝2＝，∴2＝.]

2a2a2

2．A

3

3．C [由于椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为?0，±?，

2??

a3

则双曲线的焦点坐标为?0，±?，又由渐近线方程为y＝2x，得＝2，即a2＝2b2，

b2??

113

又由??2＝a2＋b2，得a2＝，b2＝，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x2

24?2?＝1.故选C.]

4．C [由题意知，2b＝2,2c＝23，则b＝1，c＝3，a＝2；双曲线的渐近线方程为2y＝±x.]

2

5．C [点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]

6．B [||PF1|－|PF2||＝2a，即3|PF2|＝2a，

2a

所以|PF2|＝≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3c，

3

c5则≤.] a3137. 3

解析 a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3.

c13

又a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝13，从而e＝＝.

a3

x2y2

8.－＝1(x>3) 916

解析 以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，

x2y2

而|AB|－|AC|＝6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为－＝1(x>3)．

916

22xy

9.－＝1 944

x2y2

解析 ∵所求双曲线与双曲线－＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为

916

22xy

－＝λ (λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上， 916

?－3?2?23?21∴λ＝－＝. 9164

x2y2

∴所求双曲线的方程为－＝1.

944

1515

，－5?，而3<|－5|，故10．解 (1)因直线x＝与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为??4?4

22xy

双曲线的焦点在x轴上，设其方程为2－2＝1，

ab

由

?15?22???4?3

a2222

?b?4???a＝?3?，

－2＝1，

b

2??a＝9，x2y2

解得?2故所求的双曲线方程为－＝1.

916?b＝16.?