复变函数14套题目和答案

6. 幂级数?nxn的收敛半径为__________.

n?0?7. 设f(z)?8. 设ez1z?12，则f(z)的孤立奇点有__________.

??1，则z?___.

9. 若z0是

f(z)的极点，则limf(z)?___z?z0zn.

10. Res(ez,0)?____.

1三. 计算题. (40分)

1. 将函数f(z)?zez在圆环域0?z??内展为Laurent级数.

2??2. 试求幂级数

?nn?n!znn的收敛半径.

3. 算下列积分：

?edzz(z?9)2zC22，其中C是|z|?1.

4. 求z?2z?z?8z?2?0在|z|<1内根的个数. 四. 证明题. (20分) 1. 函数

96f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它

在D内为常数. 2. 设使得当|f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，

z|?R时

|f(z)|?M|z|，

n证明

f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（四）

一. 判断题. (20分)

1. 若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件. （ ）

2. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. （ ） 3. 函数sinz与cosz在整个复平面内有界. （ ） 4. 若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有

?Cf(z)dz?0.

（ ）

limf(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点. （ ） 5. 若z?z06. 若函数f(z)在区域D内解析且f'(z)?0，则f(z)在D内恒为常数. （ ）

limf(z)一定不存在. （ ） 7. 如果z0是f(z)的本性奇点，则z?z08. 若9. 若

f(z0)?0,ff(z)与g(z)(n)(z0)?0，则z0为f(z)的n阶零点. （ ）

D内解析，且在

在

D内一小弧段上相等，则

f(z)?g(z),z?D. （ ）

10. 若

f(z)在0?|z|???内解析，则

Res(f(z),0)??Res(f(z),?). （ ）二. 填空题. (20分) 1. 设z?11?i，则Rez?__,Imz?___z1?z2?...?znn?.

2. 若limzn??，则limn??n??______________.

3. 函数ez的周期为__________. 4. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为__________

5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.

6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的

_____________. 7. 设C:|z|?1，则?(z?1)dz?___C.

8.

sinzz的孤立奇点为________.

9. 若z0是

f(z)的极点，则limf(z)?___z?z0.

10. Res(ezzn,0)?_____________.

三. 计算题. (40分)

31. 解方程z?1?0.

2. 设f(z)?e2zz?1，求Res(f(z),?).

3.

?z(9?z)(z?i)1?1z2|z|?2dz. .

z4. 函数f(z)?e?1有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.

四. 证明题. (20分)

一. 证明：若函数f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解析.

2. 证明z4?6z?3?0方程在1?|z|?2内仅有3个根.

《复变函数》考试试题（五）

二. 判断题.（20分）

1. 若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数. （ ）

2. 若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内

恒等于常数. （ ） 3. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. （ ） 4. 若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析. （ ） 5. 若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析. （ ） 6. 若limf(z)存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点. （ ）

z?z07. 若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析. （ ） 8. 设函数

f(z)在复平面上解析，若它有界，则必f(z)为常数. （ ） f(z)的一级极点，则

z?z09. 若z0是

Res(f(z),z0)?lim(z?z0)f(z). （ ）

10. 若

f(z)与g(z)在

D内解析，且在

D内一小弧段上相等，则

f(z)?g(z),z?D. （ ）

二. 填空题.（20分） 1. 设z2. 当z3. 设e4.

z?1?3i，则|z|?__,argz?__,z?__z.

?___时，e为实数.

z??1，则z?___.

e的周期为___.

5. 设C:|z|?1，则?(z?1)dz?___C.

6.

Res(e?1zz,0)?____.

7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。 8. 函数f(z)?9.

11?z2的幂级数展开式为_________.

sinzz的孤立奇点为________.

10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则

然数）

?1(z?a)nCdz?___.（n为自

三. 计算题. (40分)

z?11. 求复数

z?1的实部与虚部.

2. 计算积分：

I??LRezdz，

在这里L表示连接原点到1?i的直线段. 3. 4.

求积分：I??2?d?1?2acos??a2，其中0

内根的个数，在这里?(z)在

0应用儒歇定理求方程z??(z)，在|z|<1

|z|?1上解析，并且|?(z)|?1.