复变函数14套题目和答案

《复变函数论》试题库

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则

{Re zn}与

{Im zn}都收敛. ( )

（常数）. ( )

4.若f(z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若

z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D). ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C?f(z)dz?0.

C( )

10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1.

?dz(z?z0)2n|z?z0|?1?__________.（n为自然数）

2.sin2z?cosz? _________.

3.函数sinz的周期为___________.

f(z)?12z?1，则f(z)的孤立奇点有__________.

4.设

?5.幂级数?nzn的收敛半径为__________.

n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.

limzn??zn7.若n??Res(，则

n??limz1?z2?...?znn?______________.

ez,0)?8.________，其中n为自然数.

9.

sinzz的孤立奇点为________ .

z10.若0是

f(z)的极点，则z?z01(z?1)(z?2)dz. 3??7??12limf(z)?___.

三.计算题（40分）：

f(z)?1. 设

D，求f(z)在?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.

2.

?1cosz|z|?1f(z)?3. 设

w??C??zd?，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).

z?1z?1的实部与虚部.

4. 求复数

四. 证明题.(20分) 1. 函数为常数. 2. 试证: f(z)?z(1?z)在割去线段0?Rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支,

f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它在D内

并求出支割线0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.

《复变函数》考试试题（二）

1、 判断题.（20分）

1. 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续. ( )

2. cos z与sin z在复平面内有界. ( ) 3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( ) 4. 有界整函数必为常数. ( ) 5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在. ( )

z?z06. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( ) 7. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C?f(z)dz?0.

C( )

8. 若数列{zn}收敛，则{Rezn}与{Imzn}都收敛. ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f(二. 填空题. (20分)

1n?1)?012n12n且f()?,n?1,2,....

( )

1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,z?__

2.设

f(z)?(x?2xy)?i(1?sin(x?y),?z?x?iy?C222，则limf(z)?________.

z?1?i3.

?dz(z?z0)?|z?z0|?1n?_________.（n为自然数）

4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .

n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是f'(z)的_____零点. 6. 函数ez的周期为__________.

7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________. 8. 设f(z)?11?z2，则f(z)的孤立奇点有_________.

9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________. 10.

Res(z?1z4,1)?____.

3三. 计算题. (40分) 1. 求函数

sin(2z)的幂级数展开式.

2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.

3. 计算积分：I??i?i|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）

的右半圆.

?4. 求

sinzz?2(z??2dz)2.

四. 证明题. (20分)

1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

《复变函数》考试试题（三）

一. 判断题. (20分).

1. cos z与sin z的周期均为2k?. ( ) 2. 若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. ( ) 3. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续. ( ) 4. 若数列{zn}收敛，则{Rezn}与{Imzn}都收敛. ( ) 5. 若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数. ( ) 6. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导. ( ) 7. 如果函数f(z)在D?{z:|z|?1}上解析,且|f(z)|?1(|z|?1),则

|f(z)|?1(|z|?1). （ ）8. 若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z0是f(z)的m阶零点, 则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 10. 若z0是1. 设f(z)?f(z)的可去奇点，则Res(f(z),z0)?0. ( )

1z?12二. 填空题. (20分)

，则f(z)的定义域为___________.

1n2. 函数ez的周期为_________. 3. 若zn?n?21?n?i(1?)n，则limz?__________.

n??n4. sin2z?cos2z?___________. 5.

?dz(z?z0)n|z?z0|?1?_________.（n为自然数）