2011年高考高中新课标数学基础知识归纳

你只要用心做，这些事根本难不倒你！

第十部分 复数

1．概念：

2

⑴z=a+bi∈R?b=0 (a,b∈R)?z=z? z≥ 0；⑵z=a+bi是虚数?b≠ 0(a,b∈R)；

2

⑶复数的分类z=a+bi是纯虚数?a=0且b≠ 0(a,b∈R)?z＋z＝0（z≠ 0）?z<0； 例题1、（2009江西卷理）若复数z?(x2?1)?(x?1)i为纯虚数，则实数x的值为 A．?1 B．0 C．1 D．?1或1 答案：A

?x2?1?0【解析】由??x??1 故选A

?x?1?0z?2例题2、已知z是纯虚数,是实数,那么z等于

1-i（A）2i (B)i (C)-i (D)-2i答案：D.

z?2bi?2(bi?2)(1?i)(2?b)?(b?2)i解析:设纯虚数z?bi,代入 ???1?i1?i(1?i)(1?i)2由于其为实数，b= -2, 故选D. ⑷复数的相等：a+bi=c+di?a=c且c=d(a,b,c,d∈R)；

1?7i?a?bi(a,b?R)，则乘积ab的值是例题：（2009安徽卷理）i是虚数单位，若

2?i （A）－15 （B）－3 （C）3 （D）15

1?7i(1?7i)(2?i)???1?3i，∴a??1,b?3,ab??3，选B。 [解析]

2?i5⑸复平面表示复数。

2．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：

（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；

z(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad⑶1=? 2?i (z2≠ 0) ; 222z2(c?di)(c?di)c?dc?d 3．几个重要的结论：

(1)z1?z22?z1?z22?2(z1?z2);(2)z?z?z222?z2；⑶(1?i)2??2i；⑷

1?i1?i?i;1?i1?i??i;

⑸i性质：T=4；i4n?1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i；i4n?i4n?1?i4?2?i4n?3?0;

4．模的性质：⑴|z1z2|?|z1||z2|；⑵|2z1z22|?|z1||z2|；⑶|z|?|z|。

nn5.实系数一元二次方程ax?bx?c?0的解： ①若??b?4ac?0,则x1,2?22?b?b?4ac2a2;②若??b?4ac?0,则x1?x2??b2a;

③若??b?4ac?0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数 根x??b??(b?4ac)i2a2(b?4ac?0).

2

高中新课标数学基础知识 第 25 页

你只要用心做，这些事根本难不倒你！

第十一部分 概率

1．事件的关系：

⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作A?B；

⑵事件A与事件B相等：若A?B,B?A，则事件A与B相等，记作A=B；

⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作A?B（或A?B）； ⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作A?B（或AB） ； ⑸事件A与事件B互斥：若A?B为不可能事件（A?B??），则事件A与互斥； ⑹对立事件：A?B为不可能事件，A?B为必然事件，则A与B互为对立事件。 2．概率公式：

⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；

A包含的基本事件的个数⑵古典概型：P(A)?；

基本事件的总数⑶几何概型：P(A)?构成事件A的区域长度（面积或体试验的全部结果构成的积等）区域长度（面积或体积等）?x1例：(2009山东卷理)在区间[-1，1]上随机取一个数x,cos的值介于0到之间的概率为

22( ) 1122A. B. C. D. 323??x1【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即x?[?1,1]时,要使cos的值介于0到之间,需使

222??x???x?22????或??∴?1?x??或?x?1，区间长度为，由几何概型知

3223322332?x11cos的值介于0到之间的概率为3?.故选A.

2223【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值

?xcos的范围,再由长度型几何概型求得.

2第十二部分 统计与统计案例

1．抽样方法：

⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量 为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。

n注：①每个个体被抽到的概率为；

N②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。

⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从 每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。

注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；④按预 先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况， 将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。

n注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数?

N ；

高中新课标数学基础知识 第 26 页

你只要用心做，这些事根本难不倒你！

注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等

2．频率分布直方图：⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商， (而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率。例题：(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的

产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品 频率/组距 净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),

0.150 [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于

0.125 100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且 0.100 小于104克的产品的个数是( ). 0.075 A.90 B.75 C. 60 D.45 0.050 【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n,

则

36n96 98 100 102 104 106 克 的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本 例题图 中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90.故选A. 【命题立意】:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据.

茎叶图.⑵当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。 例题：（2009安徽卷文）（本小题满分12分）

某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照 试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下： 品种A:357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，414， 415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454 品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397

397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430 （Ⅰ）完成所附的茎叶图

A B （Ⅱ）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？

9 7 35 （Ⅲ）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进

8 7 36 3 行比较，写出统计结论。

5 37 1 4 【思路】由统计知识可求出A、B两种品种的小麦稳定性大小并

8 38 3 5 6 画出茎叶图，用茎叶图处理数据，看其分布就比较明了。

9 2 39 1 2 4 457 7 【解析】（1）茎叶图如图所示

5 0 40 0 1 1 3 6 7 （2）用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,

5 4 2 41 0 2 5 6 而且可以看出每组中的具体数据.

7 3 3 1 42 2 （3）通过观察茎叶图，可以发现品种A的平均每亩产量为411.1

4 0 0 43 0 千克，品种B的平均亩产量为397.8千克.由此可知,品种A的

5 5 3 44 平均亩产量比品种B的平均亩产量高.但品种A的亩产量不够稳

4 1 45 定，而品种B的亩产量比较集中D平均产量附近.

3．总体特征数的估计：总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.

?0.300,所以n?120,净重大于或等于98克并且小于104克的产品 ⑴样本平均数x?1n(x1?x2?????xn)?1nn?i?1xi；

高中新课标数学基础知识 第 27 页

你只要用心做，这些事根本难不倒你！

⑵样本方差S2?1n[(x1?x)?(x2?x)?????(xn?x)]?2221ni?(xni?1?x)2 ；

2⑶样本标准差S?1n[(x1?x)?(x2?x)?????(xn?x)]222=

1ni?(xni?1?x)

⑷用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).公式如下：

样本数据做如下变换xi'?axi?b，则x'?ax?b，(S?)2?a2S2. 4．相关系数（判定两个变量线性相关性）：

nni??xr?i?1n?x??yi?y?n??x ?i?1n22i?1i?x??yi?y?

n222i?1?(xi?1i?x)2?(yi?1i?y)(?xi?nx)(?yi?ny)注：⑴r>0时，变量x,y正相关；r <0时，变量x,y负相关；⑵当|r| 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；当|r| 越接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 5． 回归直线方程

n???xi?x??yi?y???b?i?1n??2y?a?bx，其中???xi?x??i?1??a?y?bx

n?xyii?1ni?nxy?nx2?xi?12i

高中新课标数学基础知识 第 28 页