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你只要用心做,这些事根本难不倒你!
第十部分 复数
1.概念:
2
⑴z=a+bi∈R?b=0 (a,b∈R)?z=z? z≥ 0;⑵z=a+bi是虚数?b≠ 0(a,b∈R);
2
⑶复数的分类z=a+bi是纯虚数?a=0且b≠ 0(a,b∈R)?z+z=0(z≠ 0)?z<0; 例题1、(2009江西卷理)若复数z?(x2?1)?(x?1)i为纯虚数,则实数x的值为 A.?1 B.0 C.1 D.?1或1 答案:A
?x2?1?0【解析】由??x??1 故选A
?x?1?0z?2例题2、已知z是纯虚数,是实数,那么z等于
1-i(A)2i (B)i (C)-i (D)-2i答案:D.
z?2bi?2(bi?2)(1?i)(2?b)?(b?2)i解析:设纯虚数z?bi,代入 ???1?i1?i(1?i)(1?i)2由于其为实数,b= -2, 故选D. ⑷复数的相等:a+bi=c+di?a=c且c=d(a,b,c,d∈R);
1?7i?a?bi(a,b?R),则乘积ab的值是例题:(2009安徽卷理)i是虚数单位,若
2?i (A)-15 (B)-3 (C)3 (D)15
1?7i(1?7i)(2?i)???1?3i,∴a??1,b?3,ab??3,选B。 [解析]
2?i5⑸复平面表示复数。
2.复数的代数形式及其运算:设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则:
(1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i;⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;
z(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad⑶1=? 2?i (z2≠ 0) ; 222z2(c?di)(c?di)c?dc?d 3.几个重要的结论:
(1)z1?z22?z1?z22?2(z1?z2);(2)z?z?z222?z2;⑶(1?i)2??2i;⑷
1?i1?i?i;1?i1?i??i;
⑸i性质:T=4;i4n?1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i;i4n?i4n?1?i4?2?i4n?3?0;
4.模的性质:⑴|z1z2|?|z1||z2|;⑵|2z1z22|?|z1||z2|;⑶|z|?|z|。
nn5.实系数一元二次方程ax?bx?c?0的解: ①若??b?4ac?0,则x1,2?22?b?b?4ac2a2;②若??b?4ac?0,则x1?x2??b2a;
③若??b?4ac?0,它在实数集R内没有实数根;在复数集C内有且仅有两个共轭复数 根x??b??(b?4ac)i2a2(b?4ac?0).
2
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第十一部分 概率
1.事件的关系:
⑴事件B包含事件A:事件A发生,事件B一定发生,记作A?B;
⑵事件A与事件B相等:若A?B,B?A,则事件A与B相等,记作A=B;
⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生或B发生,记作A?B(或A?B); ⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生且B发生,记作A?B(或AB) ; ⑸事件A与事件B互斥:若A?B为不可能事件(A?B??),则事件A与互斥; ⑹对立事件:A?B为不可能事件,A?B为必然事件,则A与B互为对立事件。 2.概率公式:
⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B);
A包含的基本事件的个数⑵古典概型:P(A)?;
基本事件的总数⑶几何概型:P(A)?构成事件A的区域长度(面积或体试验的全部结果构成的积等)区域长度(面积或体积等)?x1例:(2009山东卷理)在区间[-1,1]上随机取一个数x,cos的值介于0到之间的概率为
22( ) 1122A. B. C. D. 323??x1【解析】:在区间[-1,1]上随机取一个数x,即x?[?1,1]时,要使cos的值介于0到之间,需使
222??x???x?22????或??∴?1?x??或?x?1,区间长度为,由几何概型知
3223322332?x11cos的值介于0到之间的概率为3?.故选A.
2223【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值
?xcos的范围,再由长度型几何概型求得.
2第十二部分 统计与统计案例
1.抽样方法:
⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量 为n的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。
n注:①每个个体被抽到的概率为;
N②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数表法。
⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的规则,从 每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。
注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号;④按预 先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情况, 将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。
n注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数?
N ;
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注:以上三种抽样的共同特点是:在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等
2.频率分布直方图:⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商, (而不是频率),横轴一般是数据的大小,小矩形的面积表示频率。例题:(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的
产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品 频率/组距 净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),
0.150 [100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于
0.125 100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且 0.100 小于104克的产品的个数是( ). 0.075 A.90 B.75 C. 60 D.45 0.050 【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n,
则
36n96 98 100 102 104 106 克 的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本 例题图 中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90.故选A. 【命题立意】:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据.
茎叶图.⑵当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边像植物茎上长出来的叶子,这种表示数据的图叫做茎叶图。 例题:(2009安徽卷文)(本小题满分12分)
某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A,将其与原有的一个优良品种B进行对照 试验,两种小麦各种植了25亩,所得亩产数据(单位:千克)如下: 品种A:357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,414, 415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,451,454 品种B:363,371,374,383,385,386,391,392,394,395,397
397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430 (Ⅰ)完成所附的茎叶图
A B (Ⅱ)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点?
9 7 35 (Ⅲ)通过观察茎叶图,对品种A与B的亩产量及其稳定性进
8 7 36 3 行比较,写出统计结论。
5 37 1 4 【思路】由统计知识可求出A、B两种品种的小麦稳定性大小并
8 38 3 5 6 画出茎叶图,用茎叶图处理数据,看其分布就比较明了。
9 2 39 1 2 4 457 7 【解析】(1)茎叶图如图所示
5 0 40 0 1 1 3 6 7 (2)用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,
5 4 2 41 0 2 5 6 而且可以看出每组中的具体数据.
7 3 3 1 42 2 (3)通过观察茎叶图,可以发现品种A的平均每亩产量为411.1
4 0 0 43 0 千克,品种B的平均亩产量为397.8千克.由此可知,品种A的
5 5 3 44 平均亩产量比品种B的平均亩产量高.但品种A的亩产量不够稳
4 1 45 定,而品种B的亩产量比较集中D平均产量附近.
3.总体特征数的估计:总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.
?0.300,所以n?120,净重大于或等于98克并且小于104克的产品 ⑴样本平均数x?1n(x1?x2?????xn)?1nn?i?1xi;
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⑵样本方差S2?1n[(x1?x)?(x2?x)?????(xn?x)]?2221ni?(xni?1?x)2 ;
2⑶样本标准差S?1n[(x1?x)?(x2?x)?????(xn?x)]222=
1ni?(xni?1?x)
⑷用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计;用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).公式如下:
样本数据做如下变换xi'?axi?b,则x'?ax?b,(S?)2?a2S2. 4.相关系数(判定两个变量线性相关性):
nni??xr?i?1n?x??yi?y?n??x ?i?1n22i?1i?x??yi?y?
n222i?1?(xi?1i?x)2?(yi?1i?y)(?xi?nx)(?yi?ny)注:⑴r>0时,变量x,y正相关;r <0时,变量x,y负相关;⑵当|r| 越接近于1,两个变量的线性相关性越强;当|r| 越接近于0时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 5. 回归直线方程
n???xi?x??yi?y???b?i?1n??2y?a?bx,其中???xi?x??i?1??a?y?bx
n?xyii?1ni?nxy?nx2?xi?12i
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