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你只要用心做,这些事根本难不倒你!
第六部分 圆锥曲线
1.定义:⑴椭圆:|MF1|?|MF2|?2a,(2a?|F1F2|);
⑵双曲线:||MF1|?|MF2||?2a,(2a?|F1F2|); ⑶抛物线:
2.结论 ⑴①椭圆焦半径::PF1?a?ex0,PF2?a?ex0(e为离心率);(左“+”右“-”); ⑵弦长公式:AB?1?k2?x2?x1??1?1k222(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]
?y2?y1?(1?1k22)?[(y1?y2)?4y1y2];
注:(Ⅰ)焦点弦长:椭圆:|AB|?2a?e(x1?x2); 抛物线:AB=x1+x2+p=
2psin2a?exa?ex?2(Ⅱ)通径(最短弦):①椭圆、双曲线:2b;②抛物线:2p。
a;
⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为:mx2?ny2?1 (m,n同时大于0时表示椭圆,mn?0时表示双曲线); ⑷椭圆中的结论:①内接矩形最大面积 :2ab; ②P,Q为椭圆上任意两点,且OP?0Q,则③椭圆焦点三角形:<Ⅰ>.S?PF21|OP|2?1|OQ|2?1a2?1b2 ;
1F2?btan?2,(???F1PF2);
|PM||MN|?ac<Ⅱ>.点M 是?PF1F2内心,PM交F1F2于点N,则④当点P与椭圆短轴顶点重合时?F1PF2最大;
;
?x?acos?的参数方程是. ?1(a?b?0)?22y?bsin?ab?⑸椭圆的切线方程 :
椭圆
x2?y2①椭圆
xa22?22yb22?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是
22x0xa2?y0yb2?1.
x0xa22②过椭圆③椭圆
x22xa?y22yb?1(a?b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是
222?2y0yb2?1.
ab⑹双曲线中的结论:
??1(a?b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是Aa?Bb?c.
① 双曲线双曲线
xbxa2222?yb2222?1(a>0,b>0)的渐近线:由
xa22?yb22?0得y??bax;
?ya?1(a?0,b?0)的渐近线方程为y??bax的双曲线标准方程为
xa22abx。
②共渐进线y???yb22??(?为参数,?≠0);
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③双曲线焦点三角形:<Ⅰ>.S?PF-2=1(a2ab>0,b>0)的左(右)支上一点,F1、F2分别为左、右焦点,则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为?a,(a);
1F2?bcot2?2(???F1PF2),;<Ⅱ>.P是双曲线
x2y2④双曲线为等轴双曲线?e?⑤双曲线双曲线
xax22222?渐近线为y??x?渐近线互相垂直; ??yby2222?1(a?0,b?0),焦半径公式PF??a?exp; ?1(a?0,b?0),焦半径公式PF??a?eyp.
2222a?ex?(a?ex)a?exba⑥双曲线的切线方程:
?(a?ex)x0xa2过双曲线过双曲线
x0xa2xax2222??ybyb?1(a?0,b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是
?y0yb2?1.
?ay0yb2?1(a?0,b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是
?1.
2222双曲线
xa22?ybxa?1(a?0,b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是Aa?Bb?c. ?yb2222222⑦P是双曲线则△P F1 F
?1(a?0,b?0)上一点,F1、F2是它的两个焦点,∠F1P F2=θ,
22的面积=bcot?2.
⑺抛物线中的结论: ① 抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质: <Ⅰ> x1x2=<Ⅱ>
1p24;y1y2=-p2;抛物线焦半径:PF?x0?1?2p2;
x?p2 ;<Ⅲ>.以AB为直径的圆与准线相切;
|AF||BF|p<Ⅳ>以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切;
?<Ⅴ>S?AOB?。
2sin?②抛物线y2=2px(p>0)内接直角三角形OAB的性质:
<Ⅰ> x1x2?4P,y1y2??4P; <Ⅱ>lAB恒过定点(2p,0);
2<Ⅲ>A,B中点轨迹方程:y?p(x?2p);<Ⅳ>OM?AB,则M轨迹方程为:
22p2(x?p)?y22?p;<Ⅴ>(S?AOB)min?4p 。
22③抛物线y2=2px(p>0),对称轴上一定点A(a,0),则:
<Ⅰ>当0?a?p时,顶点到点A距离最小,最小值为a;<Ⅱ>当a?p时,抛物线上有关于x轴对称的两点到点A距离最小,最小值为2ap?p。
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④抛物线y?2px上的动点P?x0,y0?可设为P(2y022,y0)或P(2pt,2pt).
2p⑤(1)P(x0,y0)是抛物线y2?2px上的一点,F是它的焦点,则PF?x0?(2)抛物线y2?2px的焦点弦长l?2psin?2p2;
,其中?是焦点弦与x轴的夹角;
(3) 抛物线y2?2px的通径长为2p. ⑥ 抛物线的切线方程:
(1) 抛物线y2?2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y?p(x?x0).
(2)过抛物线y2?2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y?p(x?x0). (3)抛物线y2?2px(p?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是pB2?2AC. ⑻ “四线”一方程:
对于一般的二次曲线Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0,用x0x代x2,用y0y代y2,
用
x0y?xy02代xy,用
x0?x2代x,用
x0?x2y0?y2?E?代y即得方程
?F?0,曲线的切线,切点弦,中点
Ax0x?B?x0y?xy02?Cy0y?D?y0?y2弦,弦中点方程均是此方程得到. 3.直线与圆锥曲线问题解法: ⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。
注意以下问题:①联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程?②直线斜率不存在时考虑了吗?③判别式验证了吗? ⑵设而不求(点差法-----代点作差法):--------处理弦中点问题
步骤如下:①设点A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得kAB?y1?y2???;③解决问题。
x1?x24.求轨迹的常用方法:(1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式);(3)代入法(又称相关点法或坐标转移法);⑷待定系数法;(5)消参法;(6)交轨法;(7)几何法。
5、圆锥曲线的对称方程:
曲线F(x,y)?0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0?y)?0. 6、求弦长公式(|AB|?1k2(x1?x2)?(y1?y2),|AB|?221?k|x2?x2|?21?k?2?x|a|,
|AB|?1?|y1?y2|?1?1k2??y|a|)或“小小直角三角形”.
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????????AB几个概念:零向量、单位向量(与AB共线的单位向量是?????,特别:
第七部分 平面向量
?????????????????ABACABAC(?????????)?(?????????))、平行(共线)向量(无传递性,是因为有0)、相等向量(有传递ABACABAC|AB|性)、相反向量、向量垂直、 1.平面上两点间的距离公式:dA,B??(x2?x1)?(y2?y1),其中A(x1,y1),B(x2,y2).
???????222.向量的平行与垂直: 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b?0,则:
两非零向量平行(共线)的充要条件a//b?a??b ?(a?b)2?(|a||b|)2 ?x1x2?y1y2?0.
????????两个非零向量垂直的充要条件a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b| ?x1x2?y1y2?0.
特别:零向量和任何向量共线. a??b是向量平行的充分不必要条件! 3.a·b=|a||b|cos=x1x2+y1y2; 注:①|a|cos叫做a在b方向上的正射影。即:
???????xx?y1y2a?b.;|b|cos叫做b在a方向上的正射影; a在b上的投影?|a|cos?a,b????1222|b|x2?y2 ②a·b的几何意义:a·b等于|a|与|b|在a方向上的正射影|b|cos的乘积。 4.cos=a?b|a||b|;
????????????5.三点共线的充要条件:P,A,B三点共线?OP?xOA?yOB且x?y?1;
6、线段的定比分点坐标公式
则x?x1??x21??,y?y1??y21??设P(x,y)、P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P??PP2,
??????????????MP??MP12,MP?1??????????.
特别:分点的位置与?的对应关系.
x1?x2?x??2中点坐标公式???y?y1?y2??2??????????????MP?MP12, MP??P为P1P2的中点.
2????????????????????????AB1?.PG?(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心;特别与AB共线的单位向量是????3|AB|?????????????PA?PB?PC?0?P为?ABC的重心. ????????????????????????PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心;
????????ACAB??????)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在直线); ?(???|AB||AC|?????????????????????????|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的内心.
S?ABC?????1???1?ABACsinA?22????AB2????AC2????????2?(AB?AC).
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