2015.1门头沟初三期末数学

21．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且BF是⊙O

的切线，BF交AC的延长线于F． （1）求证：∠CBF=

1∠CAB． 25，求BC和BF的长． 5（2）若AB=5，sin∠CBF=

22．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB度数．

小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．

图1 图2

请回答：图1中∠APB的度数等于 ，图2中∠PP′C的度数等于 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（?3，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC. 当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．

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五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0（m≠0）．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值；

（3）在（2）的条件下，将关于x的二次函数y= mx2+(3m+1)x+3的图象在x轴下方的

部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

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24．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．

图1 图2

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．

① 求证：△OCP∽△PDA；

② 若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．

（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不

与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．

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25．我们规定：函数y?函数y?ax?k（a、b、k是常数，k≠ab）叫奇特函数．当a=b=0时，奇特x?bax?kk

就是反比例函数y?（k是常数，k≠0）． x?bx

（1）如果某一矩形两边长分别是2和3，当它们分别增加x和y后，得到新矩形的面积

为8．求y与x之间的函数表达式，并判断它是否为奇特函数；

（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C坐标分别为（6，0）、

（0，3），点D是OA中点，连接OB、CD交于E，若奇特函数y?经过点B、E，求该奇特函数的表达式； （3）把反比例函数y?ax?k的图象x?42的图象向右平移4个单位，再向上平移 个单位就可得到x（2）中得到的奇特函数的图象；

（4）在（2）的条件下，过线段BE中点M的一条直线l与这个奇特函数图象交于P，Q

两点（P在Q右侧)，如果以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标．

以 下 为 草 稿 纸

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