高中数学必修一高频考点、常考题型及易错题型

高中数学必修一（理科）高频考点、常考题型及易错题型

专题1 集合

【高考命题趋势、难易度及分值分布】

主要以考查集合相关概念和计算为主，侧重考查两个集合的交、并、补运算；一般为选择题和填空题，占5分，难度较低。 【必会高频考点】

一、元素的3大特性（互异性）、元素与集合的2种关系、集合与集合的3种关系、集合与集合的3种运算 二、6大经典结论 （一）子集个数

若集合A有n(n?1)个元素，则它有2个子集，2?1个真子集，2?1个非空子集，2?2非空真子集. （二）6个等价关系（注意不要忽略A为空集的情况）

A∩B＝A?A∪B＝B?A?B??UA??UB?A∩(?UB)＝???U(AUB)=R （三）5个与空集有关的结论

1.A?B包含分A=?和A≠?两种情况，A≠?又分A=B和A

nnnn??B两种情况.当题目中出现A?B或A∩B＝A或A∪B＝B时，

在解题过程中务必注意对集合A进行分类讨论，即分A=?和A≠?两种情况进行讨论.

??A2.??A，?（A≠?）

3.若A∩B＝?，则A或B可能是?或A与B均不为?但无公共元素；若A∪B＝A，则B可能是?.

4.? 与{?}的区别：前者代表空集，后者代表一个集合，这个集合的元素的空集，属于集中集. ?∈{?}、??{?}均正确.

?只有一个子集，就是它本身.

5.5种空集的情况

A={x|ax+b=0}=??a=0,b≠0 A={x|ax+bx+c=0,a≠0}=??b2-4ac<0 A={x|m

2

A={x|ax+b>0}=??a=0,b≤0 A={x|ax+bx+c>0,a≠0}=??a<0,b2-4ac≤0

2

（四）如何读懂集合？先分区是数集，还是点集。

集合 {x|f(x)＝0} 含义 方程f(x)＝0的解集 {x|f(x)>0} 不等式f(x)>0的解集 {x|y＝f(x)} 函数y＝f(x)的定义域 {y|y＝f(x)} 函数y＝f(x)的值域 {(x，y)|y＝f(x)} 函数y＝f(x)图象上的点集 （五）容斥原理（集合交并运算后，元素个数关系）

card(AB)?cardA?cardB?card(AB)card(ABC)?cardA?cardB?cardC?card(AB)?card(AB)?card(BC)?card(CA)?card(ABC)

（六）德摩根定理

CU(AB)?CUACUB;CU(AB)?CUACUB A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

用集合A、B表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B；A∩(?UB)；B∩(?UA)；?U(A∪B)或(?UB)∩(?UA)． 【必会一般考点】

一、5类数集表示方法（N?或N+表示正整数集） 二、5种集合的表示方法

1.自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

2.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 3.描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.

4.区间法:（a，b）、[a，b]、（a，b]、[a，b）、（a,+∞）、（-∞，b）

对于集合{x|a?x?b}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须a?b． 5.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 【规律方法技巧】

一、解决集合问题的5大法宝：数轴、韦恩图、坐标系（平几）、解方程、列举法 1.离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图或交、并、补的定义求解 2.点集的运算常利用数形结合（坐标系）的思想或联立方程组进行求解 3.连续型数集的运算，常借助数轴求解

4. 如不易比较集合中元素与元素关系时，可采取列举法，观察前几项关系 二、学好集合问题须做到“五看”

一看代表元素，分清数集、点集、还是其它集合.二看约束条件；三看能否化简，化简后再研究集合，将变得简单. 四看能否数形结合，它是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、坐标轴或韦恩图. 五看端点值能不能取等号；同时还要注意各个端点的画法，即实心的点与空心的圆圈的应用. 【易错题型及创新题型】

如何破解集合的五类易错题型和一类创新题型？

1.大意：似曾相识的题目。计算失误：与指数函数、对数函数、幂函数、绝对值函数和分段函数相结合的题型。找不到解

题切入点或不能等价转换：创新题。

2.由入门级的一次方程/不等式、二次方程/不等式逐步深入到指对数不等式、分式不等式、绝对值不等式、三角不等式、复数等转变。

易错点1 含参集合忽视元素的互异性

【问题1】: 已知1∈{a?2,(a?1),a?3a?3}，求实数a的值。

【练1】:已知集合A＝{1，3，2a－1}，B＝{3，a}，若B?A，求实数a的值。 【练2】:已知集合M?2，3，a?4a?2，N?0，7，a?4a?2，2?a，且M易错点2 忽视空集

【问题1】: 已知A?{x|2a?x?a},B?{x|?2?x?1}，且A?B，求a的取值范围。

【练1】:设A＝{x|x＋4x＝0}，B＝{x|x＋2(a＋1)x＋a－1＝0}，①若B?A，求a的值；②若A?B，求a的值． 【练2】:已知集合A＝{x|x－x－12≤0}，B＝{x|2m－1

【练3】:已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若集合B＝{x|p－6≤x≤2p－1}，且A∩B＝A，则实数p的取值范围为________． 【练4】:设

2

2

2

2

2

22?2??2?N??3，7?，求实数a的值．

2A??x|x2?8x?15?0?，

B??x|ax?1?0?，若AB?B，求实数a组成的集合的子集个数？8个.

易错点3 对集合表示方法理解存在偏差（不能确定集合由哪些元素组成） 【问题1】:已知A?{x|x?0},B?{yy?1}，求A2B。

2【问题2】:已知A?{y|y?x?2},B?{(x,y)|x?y?4}，求A【练1】:A={(x，y)|y=x+1},B={y|y=x+1},则A∩B=( ) 【练2】:A={y|y=x+1}，B={y|y=x-1},则A∩B=( )

2

2

B。

【练3】:已知集合M＝{(x，y)|y＝－x＋1}，N＝{(x，y)|y＝x－1}，那么M∩N为( ) 易错点4 参数可否取“=”问题（遗漏端点）

【规律总结】1.处理技巧.2.精益求精、规范答题.3.实心的点与空心的圆圈的应用.

【问题1】:已知集合A=｛x︳0＜2x≤3+a｝，B=｛x︳-0.5＜x＜2｝，若A?B,求a的取值范围. 【练1】:已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a

A??x|x2?8x?15?0?2

，

B??x|ax?1?0?，若AB?B，求实数a组成的集合的子集有________个.

【练1】:若集合A＝{x∈R|ax＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( ) A．4 B．2 C．0 D．0或4

创新题型 与集合相关的创新性题型，即新概念、新定义、新性质题型

1. 对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或正奇数 时,m※n=m?n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.则在此定义下,集合M?{(a,b)|a※b?16}中的元素个数是（ ） A.18个 B.17个 C.16个 D.15个

【解析】因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16，

（a,b），所以集合M中的元素共有8?2+1=17个，故选B. 1?16=16，集合M中的元素是有序数对

2. 【2016年广东揭阳一模】非空数集A如果满足：①0?A；②若对?x?A,有集：①{x?R|x?ax?1?0}； ②{x|x?4x?1?0}； ③{y|y?221

?A，则称A是“互倒集”.给出以下数 x

lnx1,x?[,1)?(1,e]}； xe??2????2x?5,x?[0,1)???④?yy???.其中“互倒集”的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1 ??x?1.x?[1,2]??x?????

【经典题型】

1. 【湖南省长沙市长郡中学2016届高三下学期第六次月考】已知集合P?{y|y?y?2?0}，Q?{x|x?ax?b?0}，若P22Q?R，PQ?(2,3]，则a?b? .

2【解析】P?{y|y?y?2?0}?{y|y?2或y??1}，若PQ?R，PQ?(2,3]，由PQ?R，PQ?(2,3]，

所以Q?{x|?1?x?3}，∴?13 ，是方程x2?ax?b?0的两根，由根与系数关系得：?a??1?3，b??3?a?b??5．

x?????1?2. 【2016年榆林二模】已知集合A??x|x?1?1?,B??x|y????2? ，则ACRB? .

?2?????

3. 【2015届湖北省七市高三4月联考】集合M?{x|x?2sin?cos?，??R}，N?{x|1≤2x≤4)，则M11A．[?，1] C．[?，1] D．[0，1] 【答案】D 2] B．[?1，22N?（ ）

4. 【2015届广东省汕头市潮南区高三5月高考模拟】已知集合M?xlog2?x?1??2，N?xa?x?6,且

????MN??2,b?,则a?b?（ ）A．4 B．5 C．6 D．7

nn?15. 【2015届浙江省高三第二次考试五校联考】An?x|2?x?2,x?3m,m?N，若An表示集合An中元素的个数，

??则A5? ，则A1?A2?A3?...?A10? ．