[数学]2010年高考数学计算试题分类汇编 - 立体几何 DOC - 图文

如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ?ABC=45°，AB=22，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形． （Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．

【解析】（Ⅰ）证明：因为?ABC=45°，AB=22，BC=4，所以在?ABC中，由余弦定理得：AC2=(22)2+42-2?22?4cos45?=8，解得AC=22，

所以AB2+AC2=8+8=16=BC2，即AB?AC，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥AB， 又PA?AC?A，所以AB?平面PAC，又AB∥CD，所以CD?平面PAC，又因为

CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作AH?PC于H，则

AH?平面PCD，又AB∥CD，AB?平面PCD内，所以AB平行于平面PCD，所以点A

到平面PCD的距离等于点B到平面PCD的距离，过点B作BO⊥平面PCD于点O，则

?PBO为所求角，且AH=BO，又容易求得AH=2，所以sin?PBO=12，即?PBO=30?，

所以直线PB与平面PCD所成角的大小为30?；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知CD?平面PAC，所以CD?AC，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得DE?1（2?22）?22，AC=22，所以四边形ACDE的面积为

12?3，所以四棱锥P—ACDE的体积为?22?3=22。

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（2010湖南理数）

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（2010湖北理数）18． (本小题满分12分)

。如图， 在四面体ABOC中, OC?OA,OC?OB,?AOB?120, 且OA?OB?OC?1

（Ⅰ）设为P为AC的中点， 证明： 在AB上存在一点Q，

ABAQ使PQ?OA，并计算的值；

（Ⅱ）求二面角O?AC?B的平面角的余弦值。

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