简单的三角恒等变换(第一课时)教案高中数学 必修4 第三章

简单的三角恒等变换(第一课时)

一、教学目标

知识与技能：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用；

过程与方法：通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、方程、逆向使用公式的数学思想，提高学生推理能力；

情感、态度与价值观：通过例题的讲解，让学生体会化归、变形使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生推理能力. 二、教学重、难点

教学重点：利用公式进行简单的恒等变换；

教学难点：利用倍角公式推出半角公式，并利用变形的方法解决问题. 三、教学方法：探究式教学法. 四、教学类型：新授课. 五、教学内容

复习引入(学生组织完成)

问题1：和差角的正弦、余弦、正切公式(六个)； 问题2：二倍角的正弦、余弦、正切公式(三个)； 问题3：二倍角的变形公式(四个). 新课讲解

思考1(学生组织完成)：如何用cos?表示sin2分析：观察?与变形公式.

?2、cos2?2、tan2?2？

?的关系是2倍的关系，所以我们要利用刚刚学过的二倍角的2??的二倍角.在倍角公式cos2??1?2sin2?中，以?代替2?，以代22?替?，即得cos??1?2sin2，

2?1?cos?所以sin2?； ①

22??在倍角公式，以?代替2?，以代替?，即得cos??2cos2?1，

22?1?cos?所以cos2?. ②

22将①②两个等式的左右两边分别相除，即得

?1?cos?tan2?.

21?cos????cos、tan？ 思考2：若已知cos?，如何计算sin、222解：?是

sin?2=?1?cos??1?cos??1?cos?、cos=?、tan?? (半角公式) 22221?cos?- 1 -

?所在象限决定. 25??例1：已知sin??，且????，求tan的值.

1322解

强调：“?”号由

因为sin??又5?12且?????cos???13213?2????,??4??2??2?tan?2?01?(?2513?25?5113

12)?1?cos??13?由公式tan??得tan?1221?cos?21?(?)13例2 求证tan证明

?2?sin?1?cos? ?1?cos?sin?sin?cossin?costan?2????2?2?22?sin??sin????1?cos?cos?2cos2cos22222sincossin??2cos?tan?2??2?2sin?2sin??2?2sin22?1?cos?sin?sin??

222利用例2的结论，再做一下例1，比较两种方法.

3?例3 已知sin2??，0?2??，求

522cos2?2?sin??12sin(??)4?.

分析：由降幂公式知2cos2原式=?2?1?cos?，故有

cos??1?sin??1cos??sin?? ﹡ cos??sin?222(cos??sin?)22此处有两种处理方法：

方法一、由已知求出cos?、sin?的值，带入﹡式计算，即可得到结果; 方法二、由﹡继续变形，将半角化为倍角进行计算. 解法一

- 2 -

原式=cos??1?sin??1cos??sin??......?cos??sin?222(cos??sin?)22由0?2??

?cos??0,sin??0243?4

由sin2??,0?2??得cos2??

525

又cos2??1?2sin2??2cos2??1?sin??

10310,cos??1010带入?式得

31010?10?210?1?=10310104102

?1010

??0???

?

解法二

cos??1?sin??1cos??sin??cos??sin?222(cos??sin?)22(cos??sin?)2?(cos??sin?)g(cos??sin?)1?2sin?cos?1?sin2???......?22cos??sin?cos2?

3?4由sin2??,0?2??得cos2??525带入?式得321?1?=5?5?44255小结：对于例3，我们从不同角度出发，解法一先利用倍角计算半角，再带入求值，解法二先利用半角化为倍角，再带入求值.在三角恒等变换中,正所谓“条条大路通罗马”.在以后的学习当中，此类问题是三角恒等变换中常见的问题.

万丈高楼平地起，在此告诫同学们，基础知识的理解和必要的记忆是很重要的，所以在以后的学习中，不管题目如何变化，都有一个固定的解题理论，那就是我们的倍角公式，及其逆用，掌握好了基础的理论知识，不管题目如何变化，我们都能将他们各个击破.所谓“咬定青山不放松，任尔东南西北风”. 下面我们来分小组讨论一下这一个问题：

1 (练一练) 化简sin2??sin2??cos2??cos2??cos2??cos2?.

2分析：

原式=- 3 -

1. 从“角”入手,倍角化半角; 2. 从“幂”入手,利用降幂公式将次; 3. 从“形”入手,利用配方法.

本题目至少有6种解法，请同学们讨论完成. 课堂小结

三个数学方法

1.从“角”入手,倍角化半角(半角化倍角);

2.从“幂”入手,利用降幂公式将次(利用升幂公式升次); 3.从“形”入手,利用配方法(分母有理化、分子有理化). 两个人生哲理 1. 条条大路通罗马;

2. 咬定青山不放松，任尔东南西北风. 布置作业

习题3.2A组1(1)、(2)、(4)、(5) 课后反思

- 4 -