双曲线简单几何性质知识点总结

四、双曲线 一、双曲线及其简单几何性质

（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数2a（0＜2a＜|F1F2|）的点的轨

迹叫做双曲线。 定点叫做双曲线的焦点；|F1F2|=2c，叫做焦距。

● 备注：① 当|PF1|-|PF2|=2a时，曲线仅表示右焦点F2所对应的双曲线的一支（即右支）；

当|PF2|-|PF1|=2a时，曲线仅表示左焦点F1所对应的双曲线的一支（即左支）；

② 当2a=|F1F2|时，轨迹为以F1，F2为端点的2条射线； ③ 当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在。

x2y2y2x2双曲线2?2?1与2?2?1（a>0,b>0）的区别和联系

ababx2y2?2?1（a>0,b>0） 2aby标准方程 y2x2?2?1 （a>0,b>0） 2abyF2A2图像 F1A1OA2F2x OxA1F1 范 围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 实、虚轴 渐近线 性质 准线方程 离心率 焦半径 通径 a，b，c之间 的关系

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（二）双曲线的简单性质

x2y21．范围： 由标准方程2?2?1（a＞0，b＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的

ab方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大。 x的取值范围________ ,y的取值范围______

2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________

特殊点：____________

实轴：A1A2长为2a, a叫做半实轴长 yQB2A1OB1NMA2x虚轴：B1B2长为2b，b叫做半虚轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点

4．离心率：

e?双曲线的焦距与实轴长的比

2cc?2aa，叫做双曲线的离心率 范围：___________________

bc2?a2c2k????1?e2?12aaa双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越

大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔

5．双曲线的第二定义：

到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数

e?c(c?a?0)a的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双

曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率． 准线方程：

x2y2a2?2?1l1:x??2F(?c,0)c， ab1对于来说，相对于左焦点对应着左准线a2l2:x?F(c,0)c； 相对于右焦点2对应着右准线

6．渐近线

x2y2?2?12b过双曲线a的两顶点A1,A2，作x轴的垂线x??a，经过B1,B2作y轴的垂线y??b，四条直线xy??0围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（ab），这两条直线就是双曲线

的渐近线 双曲线无限接近渐近线，但永不相交。

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7．等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 性质：（1）渐近线方程为：y??x； （2）渐近线互相垂直； （3）离心率e?8．共渐近线的双曲线系

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x2y2x2y2与双曲线2?2?1（a＞0，b＞0）共渐近线的双曲线方程可表示为2?2??(λ≠0且λ为待定abab常数) x2y2x2y2●备注：与双曲线2?2?1 (a＞b＞0)共焦点的双曲线方程可表示为2??1 aba-?b2?? (λ＜a2,且b2＞ - λ) 例1 求与双曲线 - ＝1有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线方程. 9．共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 10 .双曲线的焦半径

定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点F1,F2的连线段，叫做双曲线的焦半径 焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，

MF1x2y2?e?2?1 (a?0,b?0)2b设双曲线 a，F1,F2是其左右焦点 则由第二定义：d1，

?MF1x0?ac2?e ?MF1?ex0?a 同理 MF2?ex0?a 2b2d?a 11．通径 定义：过焦点且垂直于对称轴的焦点弦

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