（整理）高数部分公式

精品文档 （22）

dx1x?a?ln?x2?a22ax?a?C p217例11 dx1a?x?ln?a2?x22aa?x?C 类似p218例11

（23）

（24）

?dx?arcsinx?C p217例7 a2?x2a（25）

?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C p224（26）

?dxx2?a2?lnx?x2?a2?C p224凑微分公式:

(1)dx?1ad(ax) (2) dx?1ad(ax?b) (3) xdx?12dx2 (4) x2dx?13dx3

(5)

1xdx?2dx (6) cosxdx?dsinx

(7) sinxdx??dcosx (8) 1xdx?dlnx (9) exdx?dex (10)

11?x2dx?darctanx??darccotx (11)

1dx1?x2?darcsinx??darccosx

(12) sec2xdx?dtanx (13) csc2xdx??dcotx (14) secxtanxdx?dsecx (15) cscxcotxdx??dcscx (16) ?11x2dx?dx (17) axdx?1lnadax （18）xdx?12ad(ax2?b) (19) x?dx?1??1dx??1 精品文档

例25

例26

精品文档 (20)

12xdx?dx

定积分的性质

性质1 和（差）的定积分等于定积分的和（差）

?a?f(x)?g(x)?dx??a?bbaabbf(x)dx??g(x)dx

ab性质2 常数因子可以提到积分号前面

kf(x)dx?k?f(x)dx

f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accb性质3 积分区间[a,b]可分成[a,c][c,b]两部分，则有

??ba性质4 如果在积分区间[a,b]上f(x)?1，则

baf(x)dx??1dx??dx?b?a

aabb性质5 如果在[a,b]上

f(x)?g(x)，则

(a?b)

?baf(x)dx??g(x)dxab性质6 设M及m分别是函数

bf(x)在区间[a,b]

上的最大值和最小值，则

m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

a性质7（积分中值定理） 如果函数

在一点?，使得

f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存

?baf(x)dx?f(?)(b?a)

y?f(x)f(?)a?b性质8：若f(x)在[-a, a]上连续且为偶函数，则

?a?af(x)dx?2?f(x)dx

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若f(x)在[-a, a]上连续且为奇函数，则

?a?af(x)dx?0

牛顿-莱布尼茨公式：

?baf(x)dx?F(x)ba?F(b)?F(a)

定积分的换元积分法与分部积分法

31??n?1n?3???????n为偶数??nn?2422nn正余弦积分公式?2sinxdx??2cosxdx??

00?n?1?n?3???4?2?1n为奇数?53?nn?2??平面图形的面积：在区间[a,b]上，曲线y?f(x)在曲线y?g(x)的上方，即f(x)?g(x),曲边梯形由曲线y?f(x)，y?g(x)及直线x?a,x?b围成。

面积A??[f(x)?g(x)]dx

ab旋转体的体积

绕X轴旋转 绕Y轴旋转

dyd

x??(y)y?f(x)

? abxc dx db2V??x2dy V??ydxca

??

二元函数的图形 二元函数的极限 偏导数 全微分dz??z?zdx?dy ?x?y二重积分的性质

性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分记号外，即 精品文档

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??kf(x,y)d?=k??f(x,y)d?（k为常数）

DD性质2 有限个函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差），即

??[f(x,y)?g(x,y)]d????f(x,y)d????g(x,y)d?

DDD性质3 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分，则在D上的二重积分等于在各个部分区域上的二重积分的和。例如，若D分为两个闭区域D1和D2，则

f(x,y)d????f(x,y)d?

??f(x,y)d????DDD12性质4如果在D上，f(x,y)?1，?为区域D的面积，则????1?d????d?

DD 该性质表明，高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。 性质5如果在D上，f(x,y)?g(x,y)，则

??f(x,y)d????g(x,y)d?

DD 特别地，由于?f(x,y)?f(x,y)?f(x,y)，

所以 ???DDf(x,y)d????f(x,y)d????DDf(x,y)d?

即有

??f(x,y)d????Df(x,y)d?

性质6 （二重积分估值定理）如果f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值分别为M和

m，区域D的面积为?，则m????f(x,y)d??M?

D性质7 （二重积分的中值定理）设f(x,y)在闭区域D上连续，?是D的面积，则在D上 至少存在一点(?,?)，使得

??f(x,y)d?D?f(?,?)??

二重积分在直角坐标系中的计算法

常数项级数及其收敛与发散

等比级数（又称几何级数）

?aqn?0?n?a?aq?aq2???aqn?1??，当q?1时收敛

调和级数

1111?1???????是发散的 ?n23nn?1?精品文档