2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷(文科)含答案解析

【解答】解：（Ⅰ）∵∴

∵A为锐角，∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知

，

=sinA+cosA=2sin（A+）=，

，，

．

∴f（x）=cos2x+4sinx=1﹣2sin2x+4sinx=﹣2（sinx﹣1）2+3， ∵x∈R，∴sinx∈[﹣1，1]，

∴当sinx=1时，f（x）有最大值3； 当sinx=﹣1时，f（x）有最小值﹣5， ∴函数f（x）的值域是[﹣5，3]．

17．某高校在2020年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95）， 第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；

4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，

求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．

【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式． 【分析】（I）根据频率分步直方图的性质，根据所给的频率分步直方图中小矩形的长和宽，求出矩形的面积，即这组数据的频率．

（II）由上一问求得频率，可知3，4，5组各自所占的比例样，根据分层抽样的定义进行求解；

（Ⅲ）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2，该变量符合超几何分布，根据超几何分布的概率公式写出变量的概率，写出这组数据的分布列从而求出P（ξ≥1）的概率； 【解答】解：（Ⅰ）根据所给的频率分步直方图中小正方形的长和宽， 得到第三组的频率为0.06×5=0.3； 第四组的频率为0.04×5=0.2； 第五组的频率为0.02×5=0.1．

（Ⅱ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，

由（Ⅰ）可知第三，四，五组的频率分别为：0.3，0.2，0.1

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则分层抽样第3，抽取的人数为：第4组抽取的人数为：5组每组抽取的人数为：

×6=2 ×6=1；

×6=3

（Ⅲ）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试， 由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2 该变量符合超几何分布， ∴P（ξ=i）=∴ξ分布列是

（i=0，1，2）

∴P（ξ≥1）=+==；

18．如图1，在矩形ABCD中，AB=，BC=4，E是边AD上一点，且AE=3，把△ABE

沿BE翻折，使得点A到A′，满足平面A′BE与平面BCDE垂直（如图2），连结A′C，A′D．

（1）求四棱锥A′﹣BCDE的体积；

（2）在棱A′C是否存在点R，使得DR∥平面A′BE？若存在，请求出在，请说明理由．

的值；若不存

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质． 【分析】（I）过A′作A′F⊥BE，利用等积法求出A′F，则A′F为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算；

（II）延长BE，CD交于点P，过D作A′P的平行线交A′C于R，则DR∥平面A′BE．利用平行线等分线段成比例定理得出

的值．

【解答】解：（Ⅰ）过A′作A′F⊥BE于F．

∵平面A′BE⊥平面BCDE，平面A′BE∩平面BCDE=BE，A′F?平面A′BE． ∴A′F⊥平面BCDE． ∵∠BA′E=90°，， ∴BE=

=2

，∴A′F=

=．

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∵

∴四棱锥A'﹣BCDE的体积

．

（Ⅱ）延长过BE，CD交于P，连结A′P，过D作DR∥A′P交A′C于R， ∵DR?平面A′BE，A′P?平面A′BE， ∴DR∥平面A′BE， ∵∴

，∴，∴

，

，

∴在棱A′C存在点R，使得DR∥平面A′BE， 这时

．

19．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足8Sn=a（1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=

，是否存在一个最小的常数M，使得b1+b2+…+bn＜m对于任意的n

+4an+3（∈N*）．

∈N*均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由．

【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（I）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出； （II）利用等差数列的前n项和公式、“裂项求和”即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）∵∴8Sn﹣1=∴∴

+4an﹣1+3，（n≥2），

，

，

∵an＞0，∴an﹣an﹣1=4（n≥2），

∴数列{an}是以4为公差的等差数列． 又∵∴

， ，而a1＜3，

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∴a1=1．

∴an=4n﹣3（n∈N*）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知∴∴

， ，

，

∵，

∴存在

，使b1+b2+…+bn＜m对于任意的正整数n均成立．

20．已知圆x2+y2=4上任意一点P在x轴上的射影为H，点F满足条件+=2，O为坐标原点．

（1）求点F的轨迹C的方程；

（2）若直线l：y=kx+m与曲线C交于不同两点A，B，点N时线段AB中点，设射线ON交曲线C于点Q，且=，求m和k满足的关系式． 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（Ⅰ）利用代入法求椭圆方程； （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线代入椭圆方程，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明结论． 【解答】解：（Ⅰ）设点F（x，y），点P（x'，y'），因为点P在x轴上的射影为H，所以H（x'，0）． 又因为，所以点F是线段PH的中点， 即有

…

因为点P是圆x2+y2=4上任意一点，所以（x'）2+（y'）2=4， 所以

所以点F的轨迹C的方程为

． …

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立解方程组：

，…

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