浙江省宁波市2019届高三上学期期末考试数学试题附答案解析

所以点为的中点，

为轴正方向，

为轴正方向，

为轴正方向，建立空间直角坐标系. ，

.

的法向量为，取

；

，平面

，取

的法向量为

，

，则

以为坐标原点，设易得设平面

，则

设二面角则

的大小为，易知为锐角，

，

所以二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查线面垂直的证明，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，考查二面角的余弦值的求法，两个半平面所成的角与平面的法向量所成的角之间相等或互补，主要根据图形来确定最后的结果，是中档题．

20.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16,…，这样的数为正方形数. 某同学模仿先贤用石子摆出了如下图3的图形，图3中的2,5,7,9,…，这些数能够表示成梯形，将其称为梯形数.

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（1）请写出梯形数的通项公式（不要求证明），并求数列（2）若【答案】(1) 【解析】 【分析】

（1）由观察法可得

，数列

的前项和记为，求证：

，

.

的前项和;

(2)见证明

，应用等差数列的求和公式可得所求和；（2）求得

，由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．

【详解】（1）根据观察可归纳得：进一步：（2）易知

； ，

，

则

，

.

【点睛】本题考查数列在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式和求和公式的应用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题． 21.过抛物线

的焦点的直线交抛物线于

两点，抛物线在

处的切线交于.

（1）求证：；

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（2）设，当时，求

的面积的最小值.

【答案】(1)见证明；(2) 【解析】 【分析】 （1）设直线

的方程为

，代入抛物线方程中，根据韦达定理和直线的斜率公式，以及导数

，

的几何意义，可求出点E的坐标，根据斜率的关系即可证明；（2）根据向量结合韦达定理可得再根据弦长公式求三角形的面积公式表示出，根据函数的性质即可求出最小值． 【详解】（1）显然代入抛物线方程设

斜率存在，设直线中，得，由韦达定理得到

的方程，

， ，

∵易知

，∴切线方程

，∴直线的斜率为，

的方程

，

，切线

当时，联立求得：，故，

. ，∴

又当所以（2）由

时，显然有.

，得

，从而

又

，

由于因此当

.

，

，结合韦达定理，

，

，

，

在区间

有最小值

.

上为减函数，

【点睛】本题考查切线方程的求法，弦长公式，直线与直线的位置关系，三角形的面积计算，解题时要认真审题．属于难题．

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22.已知函数（1）若函数（2）若【答案】(1) 【解析】 【分析】

（1）根据函数的对称性得到极值和导数之间的关系得到【详解】（1）设则点关于点所以

对所有实数成立， 从而求得：（2）设因为

，从而

，由，则，所以

. ，所以为

的对称点为的图像关于点

，且

，其中为实数.

的解析式；

的极小值点，求

的取值范围.

对称，求

，为函数 (2)

，利用待定系数法进行求解即可；（2）求函数的导数，结合函数

，求出

图像上的任意一点，

，即

， ，

的范围进行求解即可．

. ， . 知，即

，

，

因为极小值存在，所以①若

，则

.

②若，则，所以，

令则又

在

，则上为减函数，在

，

上为增函数， ，故

，

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