福建省晋江市第二中学高中数学 初高中衔接教材 第五讲 二次函数的最值问题

第五讲 二次函数的最值问题

二次函数y?ax?bx?c (a?0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a?0时，函数在x??2b处取得最小值2a4ac?b24ac?b2b，无最大值；当a?0时，函数在x??处取得最大值，无最小值． 4a4a2a本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．

【例1】当?2?x?2时，求函数y?x?2x?3的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值．

解：作出函数

【例2】当1?x?2时，求函数y??x?x?1的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当x?1时，ymin??1，当x?2时，ymax??5．

由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

【例3】当x?0时，求函数y??x(2?x)的取值范围． 解：作出函数y??x(2?x)?x?2x在x?0内的图象． 可以看出：当x?1时，ymin??1，无最大值． 所以，当x?0时，函数的取值范围是y??1． 【例4】当t?x?t?1时，求函数y?222的图象．当x?1时，ymin??4，当x??2时，ymax?5．

125x?x?的最小值(其中t为常数)． 22

分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数y?125x?x?的对称轴为x?1．画出其草图． 22125t?t?； 22(1) 当对称轴在所给范围左侧．即t?1时： 当x?t时，ymin?(2) 当对称轴在所给范围之间．即t?1?t?1?0?t?1时：

125?1?1???3； 22(3) 当对称轴在所给范围右侧．即t?1?1?t?0时：

15122 当x?t?1时，ymin?(t?1)?(t?1)??t?3．

222

当x?1时，ymin?

?12?2t?3,t?0?综上所述：y???3,0?t?1

?15?t2?t?,t?12?2在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：

【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m?162?3x,30?x?54．

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；

(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(x?30)元，

那么m件的销售利润为y?m(x?30)，又m?162?3x．

? y?(x?30)(162?3x)??3x2?252x?4860,30?x?54

(2) 由(1)知对称轴为x?42，位于x的范围内，另抛物线开口向下

?当x?42时，ymax??3?422?252?42?4860?432

?当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

练 习 A 组

1．抛物线y?x?(m?4)x?2m?3，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点．

2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．

2

3．求下列二次函数的最值：

(1) y?2x?4x?5；

22

(2) y?(1?x)(x?2)．

4．求二次函数y?2x?3x?5在?2?x?2上的最大值和最小值，并求对应的x的值． 5．对于函数y?2x?4x?3，当x?0时，求y的取值范围． 6．求函数y?3?5x?3x2?2的最大值和最小值．

7．已知关于x的函数y?x?(2t?1)x?t?1，当t取何值时，y的最小值为0？

B 组

1．已知关于x的函数y?x?2ax?2在?5?x?5上．

(1) 当a??1时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a为实数时，求函数的最大值．

222222．函数y?x?2x?3在m?x?0上的最大值为3，最小值为2，求m的取值范围．

3．设a?0，当?1?x?1时，函数y??x?ax?b?1的最小值是?4，最大值是0，求a,b的值． 4．已知函数y?x?2ax?1在?1?x?2上的最大值为4，求a的值． 5．求关于x的二次函数y?x?2tx?1在?1?x?1上的最大值(t为常数)．

第五讲 二次函数的最值问题答案

A 组

1．4 14或2，

2223 2l222．m

163．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值4．当x?9，无最小值． 4331时，ymin?；当x??2时，ymax?19． 485．y??5

6．当x?352

时，ymin?3?；当x?或1时，ymax?3．

663

7．当t??

5时，ymin?0． 4B 组

1．(1) 当x?1时，ymin?1；当x??5时，ymax?37．

(2) 当a?0时，ymax?27?10a；当a?0时，ymax?27?10a． 2．?2?m??1． 3．a?2,b??2． 4．a??1或a??1． 45．当t?0时，ymax?2?2t，此时x?1；当t?0时，ymax?2?2t，此时x??1．