数学文卷·2018届河北省衡水中学高二下学期三调考试

（1）当a?2时，求曲线f?x?在x?1处的切线方程； （2）设函数h?x??f?x??（3）若g?x???1?a，求函数h?x?的单调区间； x1?a，在[ 1,e](e?2.71728)?上存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，x求a的取值范围.

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试卷答案

一、选择题

1-5: BBBBC 6-10: BCACD 11、 D 12：C

二、填空题

13.

?43 14. 1 15. 16.m?(??,?e]?{42?6} 4354三、解答题

17.因为(c?a)cosB?bcosA，所以由正弦定理得

5(sinC?sinA)cosB?sinBcosA， 45即有sinCcosB?sinAcosB?cosAsinB ，

454则sinCcosB?sinC，因为sinC?0，所以cosB?. 45432asinA2?， （1）由cosB?，得sinB?，因为sinA?，所以?555bsinB3又a?b?10，解得a?4.

（2）因为b2?a2?c2?2accosB,b?35,a?5，所以45?25?c?8c， 即c?8c?20?0，解得c?10或c??2（舍去）， 所以S?221acsinB?15 218.解：（1）由频率直方图得，需求量为?100,120?的频率?0.005?20?0.1， 需求量为?120,140?的频率?0.01?20?0.2，需求量为?140,160?的频率

?0.015?20?0.3，

则中位数为x?140?2460?20?. 33（2）因为每售出1盒该产品获利50元，未售出的产品，每盒亏损30元， 所以当100?x?160时，y?50x?30?(160?x)?80x?480，

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当160?x?200时，y?160?50?8000，

所以y???80x?4800,100?x?1600 .

?8000,160?x?200（3）因为利润不少于4800元，所以80x?4800?4800，解得x?120， 所以由（1）知利润不少于4800元的概率p?1?0.1?0.9. 19.解：（1）

f?x??[1?2cos(2x?)]?3cos2x?1?sin2x?3cos2x?1?2sin(2x?)

23????2?又x?[,]，则?2x??，

42633??5?故当2x??，即x???时，f?x?max?3.

3212（2）由（1）知A???2???12??3，

222222由sinBsinC?sinA，即bc?a，又a?b?c?2bccosA?b?c?bc， 则b?c?bc?bc，即(b?c)2?0.

20.证明：(1)取AD中点O，连接OP,OC,AC，依题意可知?PAD,?ACD均为正三角形， 所以OC?AD,OP?AD，又OC?OP?O,OC?平面POC,OP?平面POC， 所以AD?平面POC，又PC?平面POC，所以PC?AD.

22

（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，

由（1）可知，PO?AD，又平面PAD? 平面ABCD，平面PAD?平面ABCD?AD，

PO?平面PAD，所以PO?平面ABCD，即PO为三棱锥P?ACD的体高，

在Rt?POC中，PO?OC?3,PC?6，

在?PAC中，PA?AC?2,PC?6，边PC上的高AM?PA2?PM2?10， 2第 7 页 共 9 页

设点D到平面PAC的距离为h，VD?PAC?VP?ACD，得又S?ACD?11S?PAC?h?S?ACD?PO， 3311151215?23?3，所以?， ?h??3?3，解得h?23235所以D到平面PAM的距离为h?215. 51a2x1?1??21.解：（1）f?x?的定义域为(?,??)，且f??x??， 1aax?1x?a11，所以ax??1，所以f??x??0，函数在(?,??)是增函数； aa1)区间上，f??x??0. ②当a?0时，ax?1?0，在(?,0)区间上，f??x??0；在(0,??a1所以f?x?在区间(?,0)上是增函数；在区间(0,??)上是减函数.

a1111（2）当a?0时，取x?e?，则f(e?)?1?a(e?)?2?ae?0?ae?1?a(e?)

aaaa①当a?0时，因为x??不合题意

当a?0时，令h?x??ax?f?x?，则h(x)?2ax?ln(x?)， 问题转化为h?x??0恒成立时a的取值范围.

1a12a(x?)1a，所以在(?1,?1)区间上，h??x??0； 由于h?(x)?2a??11a2ax?x?aa11,??)区间上，h??x??0，所以h?x?的最小值为h(?)， 在(?2a2a11111e)?0，即2a?(?)?ln(??)?0，所以ln??1，所以a?. 所以只需h(?2a2a2aa2a222.解：（1）当a?2时，f?x??x?2lnx,f?1??1，切点(1,1)， 所以f??x??1?2，所以k?f??1??1?2??1， x所以曲线f?x?在点(1,1)处的切线方程为：y?1??(x?1)，即x?y?2?0. （2）h?x??x?alnx?1?a，定义域为(0,??)， xa1?ax2?ax?(1?a)(x?1)[x?(1?a)]h??x??1??2??，

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①当a?1?0，即a??1时，令h??x??0，因为x?0，所以x?1?a. 令h??x??0，因为x?0，所以0?x?1?a. ②当a?1?0，即a??1，令h??x??0恒成立，

综上，当a??1时，h?x?唉(0,a?1)上单调递减，在(a?1,??)上单调递增， 当a??1时，h?x?在(0,??)上单调递增.

（3）由题意可知，在?1,e?上存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立， 即在[1,e]上存在一点x0，使得h(x0)?0， 即函数h?x??x?alnx?由第（2）问，

①当a?1?e，即a?e?1时，h?x?在?1,e?上单调递减，

1?a在?1,e?上的最小值[h(x)]min?0. x所以[h(x)]min1?ae2?1e2?1e2?1?h(e)?e??0，?e?1，所以a?，因为所以a?；

ee?1e?1e?1②当a?1?1，即a?0时，h?x?在?1,e?上单调递增， 所以[h(x)]min?h(1)?1?1?a?0，所以a??2；

③当1?a?1?e，即0?a?e?1时，[h(x)]min?h(1?a)?2?a?aln(1?a)?0， 因为0?ln(1?a)?1，所以0?aln(1?a)?a，所以h?1?a??2， 此时不存在x0使得h(x0)?0成立.

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