《成才之路》高一数学(人教A版)必修4能力提升：2-3-4 平面向量共线的坐标表示

能 力 提 升

一、选择题

1．(2011～2012·北京西城高三第一学期期末)已知点A(－1,1)，→

点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若AB∥a，则实数y的值为( )

A．5 C．7 [答案] C

→→

[解析] AB＝(3，y－1)，又AB∥a， 所以(y－1)－2×3＝0，解得y＝7.

2．(2013·陕西文)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( )

A．－2 C．－2或2 [答案] C

[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a∥b知1×2＝m2，即m＝2或m＝－2.

→1→

3．若点M(3，－2)，点N(－5，－1)，且MP＝2MN，则点P的坐标为( )

A．(－8,1) 3??

C.?1，2? ??[答案] B

→

[解析] 设P(x，y)，则MP＝(x－3，y＋2)，

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B．6 D．8

B.2 D．0

3??

B.?－1，－2? ??D．(8，－1)

→

MN＝(－8,1)，

1?→1→?x－3＝2×?－8?，

∵MP＝2MN，∴?1

?y＋2＝?2×1，3

解得x＝－1，y＝－2. 4．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( )

A．－6 C．2 [答案] B

[解析] a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)， 由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0， ∴λ＝6.

5．(2013·济南模拟)若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝( )

1A．－2 C．2 [答案] A

[解析] 2a＋b＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4) a－mb＝(1,2)－m(－3,0)＝(1＋3m,2) ∵(2a＋b)∥(a－mb) ∴－1＝(1＋3m)×2 1

∴6m＝－3，解得m＝－2 第 2 页 共 6 页

B．6 D．－2

1B.2 D．－2

6．(2011～2012·湖南长沙)已知O是平面上一定点，A、B、C是→→→→

平面上不共线的三点，动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )

A．外心 C．内心 [答案] D

→→→

[解析] 设AB＋AC＝AD，则可知四边形BACD是平行四边形，→→

而AP＝λAD表明A、P、D三点共线．

又D在BC的中线所在直线上，于是点P的轨迹一定通过△ABC的重心．

二、填空题

7．(2011·北京高考)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a－2b与c共线，则k＝________. [答案] 1

[解析] a－2b＝(3，3)．因为a－2b与c共线， k3

所以＝3，解得k＝1.

3

8．已知向量a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，则tanα等于________．

3

[答案] tanα＝4

[解析] ∵a∥b，∴3cosα－4sinα＝0. 3

∴4sinα＝3cosα.∴tanα＝4. 9．若三点P(1,1)、A(2，－4)、B(x，－9)共线，则x等于________．

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B．垂心 D．重心

[答案] 3

→→→→

[解析] PA＝(1，－5)，PB＝(x－1，－10)，因为PA与PB共线，所以1×(－10)－(－5)(x－1)＝0，解得x＝3.

三、解答题

10．平面内给定三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求3a＋b－2c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m和n； (3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.

[解析] (1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．

(2)∵a＝mb＋nc，m，n∈R，

∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．

??－m＋4n＝3，∴???2m＋n＝2.

5?m＝?9，解得?8

??n＝9.

58

∴m＝9，n＝9. (3)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)． 又∵(a＋kc)∥(2b－a)， ∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0. 16

∴k＝－13.

→

11．已知点P1(2，－1)，点P2(－1,3)，点P在线段P1P2上，且|P1P2→

|＝3|PP2|.求点P的坐标．

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